SVPWM算法公式推导：从几何原理到代码实现

丁毅桂2026/2/14大约 6 分钟SVPWMFOCClarke等幅值变换

SVPWM算法公式推导：从几何原理到代码实现

在磁场定向控制（FOC）中，空间矢量脉宽调制（SVPWM）负责将二维的电压参考矢量 ${\vec{U}}_{r e f}$ 转换为三相逆变器的占空比信号。其核心是计算两个相邻有效矢量（Active Vector）的作用时间。

1. 符号定义与前提

${\vec{U}}_{r e f}$ : 目标电压空间矢量，位于 $α - β$ 静止坐标系。
$U_{s}$ : ${\vec{U}}_{r e f}$ 的幅值，即 $U_{s} = | {\vec{U}}_{r e f} | = \sqrt{U_{α}^{2} + U_{β}^{2}}$ 。
$θ$ : ${\vec{U}}_{r e f}$ 在 $α - β$ 坐标系中的角度（电角度）。
$U_{d c}$ : 直流母线电压。
$T_{s}$ : PWM周期（载波周期）。
$T_{a}, T_{b}$ : 两个相邻有效矢量 $V_{a}$ 和 $V_{b}$ 在一个 $T_{s}$ 内需要作用的时间。它们对应于代码中的 T1 和 T2。
$T_{0}$ : 零矢量（ $V_{0}$ 或 $V_{7}$ ）的作用时间， $T_{s} = T_{a} + T_{b} + T_{0}$ 。

前提：采用 Clarke等幅值变换。这意味着变换前后电压矢量的幅值（模长）物理意义保持不变，即相电压峰值与 $α - β$ 坐标系下矢量幅值对应。

\sqrt{U_{α}^{2} + U_{β}^{2}} = \frac{2}{3} \sqrt{u_{a}^{2} + u_{b}^{2} + u_{c}^{2}}

其中 $u_{a}, u_{b}, u_{c}$ 为三相相电压瞬时值。

2. 基于伏秒平衡与正弦定理的原始公式推导

根据SVPWM原理，在一个PWM周期 $T_{s}$ 内，通过两个相邻的有效矢量 $V_{a}$ 、 $V_{b}$ 和零矢量的组合来合成 ${\vec{U}}_{r e f}$ ，遵循伏秒平衡原则：

{\vec{U}}_{r e f} T_{s} = V_{a} T_{a} + V_{b} T_{b}

考虑 ${\vec{U}}_{r e f}$ 位于扇区I（即0号扇区，介于 $V_{4}$ 和 $V_{6}$ 之间，对应下图情形）。以 $V_{6}$ 为 $V_{a}$ ， $V_{4}$ 为 $V_{b}$ 。由基本空间矢量图可知， $V_{a}$ 、 $V_{b}$ 和 ${\vec{U}}_{r e f}$ 构成一个三角形。

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对该三角形应用 正弦定理：

\frac{T_{a} / T_{s} | V_{a} |}{\sin (60^{\circ} - α)} = \frac{T_{b} / T_{s} | V_{b} |}{\sin (α)} = \frac{| U_{r e f} |}{\sin (120^{\circ})}

定义 $T s = 1$ 为一个pwm时钟周期，则 $T_{a}$ 、 $T_{b}$ 、 $T_{0}$ 表示的就是占空比，且满足 $T_{a} + T_{b} + T_{0} = 1$ 。

定义 $U_{s} = | {\vec{U}}_{r e f} |$ ,表示空间电压矢量幅值。

通过逆变电路的导通状态和三相绕组的连接情况可知，六个基本矢量的幅值均为 $\frac{2}{3} U_{d c}$ ，即： $| V_{a} | = | V_{b} | = \frac{2}{3} U_{d c}$ 。

同时可知 $\sin (120^{\circ}) = \sin (60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

代入上式可得：

\begin{aligned} T_{a} & = \frac{| U_{r e f} | \sin (60^{\circ} - α)}{T_{s} | V_{a} | \sin (120^{\circ})} \\ = \frac{U_{s}}{\frac{2}{3} U_{d c} \frac{\sqrt{3}}{2}} \sin (60^{\circ} - α) \\ = \frac{U_{s}}{\frac{\sqrt{3}}{3} U_{d c}} \sin (60^{\circ} - α) \end{aligned}

同理：

T_{b} = \frac{U_{s}}{\frac{\sqrt{3}}{3} U_{d c}} \sin (α)

同时:

T_{0} = 1 - T_{a} - T_{b}

电压归一化与六边形内切圆半径

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SVPWM的线性调制区（即能合成圆形旋转磁场而不畸变的区域）由六个有效矢量构成的正六边形的 内切圆 所限定。

该内切圆的半径 $R$ 即为能够合成空间电压矢量 ${\vec{U}}_{r e f}$ 的最大幅值 $U_{s_m a x}$ ：

R = U_{s_m a x} = \frac{\sqrt{3}}{2} | U_{a} | = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{2}{3} U_{d c} = \frac{\sqrt{3}}{3} U_{d c}

观察下面两个表达式

\begin{aligned} T_{a} & = \frac{U_{s}}{\frac{\sqrt{3}}{3} U_{d c}} \sin (60^{\circ} - α) \\ U_{s_m a x} & = \frac{\sqrt{3}}{3} U_{d c} \end{aligned}

可以发现分母完全相同, 这意味着如果进行 电压归一化，将电压矢量幅值 $U_{s}$ 表示为相对于最大值 $U_{s_m a x}$ 的比例：

\frac{U_{s}}{U_{s_m a x}} = \frac{U_{s}}{\frac{\sqrt{3}}{3} U_{d c}} \in [0, 1]

记这个归一化电压为 $U_{n o r m l}$ ，则公式可简化为：

\begin{aligned} T_{a} & = U_{n o r m l} \sin (60^{\circ} - α) \\ T_{b} & = U_{n o r m l} \sin (α) \end{aligned}

这就是最终得到的简洁形式。在实际实现中，我们以直流母线电压 $U_{d c}$ 为参考电压基准 power_supply，则：

U_{n o r m l} = \frac{U_{s}}{\frac{\sqrt{3}}{3} U_{d c}} \approx \frac{U_{s}}{U_{d c}}

在FOC控制中，我们主要关注q轴电压 $U_{q}$ （用于产生转矩），d轴电压 $U_{d}$ 通常设为0（弱磁控制除外）。经Park逆变换后， ${\vec{U}}_{r e f}$ 的幅值主要由 $U_{q}$ 决定，因此代码中直接使用：

float T1 = self->Uq / self->power_supply * _sin(M_PI_3 - alpha);
float T2 = self->Uq / self->power_supply * _sin(alpha);
float T0 = 1 - T1 - T2;

self->Uq / self->power_supply：归一化电压比例，对应理论公式中的 $U_{n o r m l}$
M_PI_3： $60^{\circ}$ 的弧度值（ $π / 3$ ）
alpha：当前扇区内角度 $α = θ - sector \times 60^{\circ}$
_sin()：正弦函数实现

扇区分配与PWM占空比计算

计算出相邻两个有效矢量的作用时间 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 后，需要根据扇区位置分配到三相的PWM占空比。SVPWM采用对称开关策略，将零矢量时间 $T_{0}$ 平均分配到每个PWM周期的首尾。

以扇区0（ $0^{\circ} \leq θ < 60^{\circ}$ ）为例：

$T_{a}$ 对应 $V_{6}$ 的作用时间 $T_{1}$
$T_{b}$ 对应 $V_{4}$ 的作用时间 $T_{2}$
开关序列： $V_{0} \to V_{6} \to V_{4} \to V_{7} \to V_{4} \to V_{6} \to V_{0}$

对应的相电压（中心对齐）占空比为：

$T_{a} = T_{1} + T_{2} + T_{0} / 2$
$T_{b} = T_{2} + T_{0} / 2$
$T_{c} = T_{0} / 2$

其他扇区类似，只需重新分配 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 到三相即可。

完整代码

void motor_set_e_theta_omega(Motor *self, float e_theta, float e_omega)
{
    e_theta = _normlalizeAngle(e_theta);
    self->e_theta = e_theta;
    self->e_omega = e_omega;
    self->sin_e_theta = _sin(e_theta);
    self->cos_e_theta = _cos(e_theta);
}
/**
 * 设置dq轴电压
 * - 为防止重复计算三角函数 需要先调用 motor_set_e_theta_omega
 */
void motor_set_dq_voltage(Motor *self, float Ud, float Uq)
{
    self->Ud = Ud;
    self->Uq = Uq;

    // 帕克逆变换
    // Ualpha = cos(θ) * Ud - sin(θ) * Uq
    // Ubeta = sin(θ) * Ud + cos(θ) * Uq
    self->Ualpha = self->cos_e_theta * Ud - self->sin_e_theta * Uq;
    self->Ubeta = self->sin_e_theta * Ud + self->cos_e_theta * Uq;

    switch (self->modulation)
    {
    case SPWM: // 克拉克逆变换
    {
#define M_SQRT3_2 0.8660254037844386 // (sqrt(3)/2)

        // 克拉克逆变换(等赋值形式)
        // Ua = Ualpha
        // Ub = -0.5 * Ualpha + (sqrt(3)/2) * Ubeta
        // Uc = -0.5 * Ualpha - (sqrt(3)/2) * Ubeta = -(Ua + Ub) // 基尔霍夫电压电流定律
        self->Ua = self->Ualpha;
        self->Ub = -0.5f * self->Ualpha + M_SQRT3_2 * self->Ubeta;
        self->Uc = -(self->Ua + self->Ub);

        // 计算PWM占空比
        // [-power_supply,+power_supply] => [-0.5,+0.5] => [0,1]
        self->Ta = self->Ua / self->power_supply * 0.5f + 0.5f;
        self->Tb = self->Ub / self->power_supply * 0.5f + 0.5f;
        self->Tc = self->Uc / self->power_supply * 0.5f + 0.5f;
    }
    break;
    case SVPWM:
    {
#define M_PI_3 1.0471975511965979 // 60° = PI/3

        int sector = self->e_theta / M_PI_3;
        float alpha = self->e_theta - sector * M_PI_3;

        // Uq∈[-power_supply,+power_supply]
        // self->Uq / self->power_supply ∈ [-1,1]
        float T1 = self->Uq / self->power_supply * _sin(M_PI_3 - alpha);
        float T2 = self->Uq / self->power_supply * _sin(alpha);
        float T0 = 1 - T1 - T2;

        float Ta, Tb, Tc;
        switch (sector)
        {
        case 0:
            Ta = T1 + T2 + T0 / 2;
            Tb = T2 + T0 / 2;
            Tc = T0 / 2;
            break;
        case 1:
            Ta = T1 + T0 / 2;
            Tb = T1 + T2 + T0 / 2;
            Tc = T0 / 2;
            break;
        case 2:
            Ta = T0 / 2;
            Tb = T1 + T2 + T0 / 2;
            Tc = T2 + T0 / 2;
            break;
        case 3:
            Ta = T0 / 2;
            Tb = T1 + T0 / 2;
            Tc = T1 + T2 + T0 / 2;
            break;
        case 4:
            Ta = T2 + T0 / 2;
            Tb = T0 / 2;
            Tc = T1 + T2 + T0 / 2;
            break;
        case 5:
            Ta = T1 + T2 + T0 / 2;
            Tb = T0 / 2;
            Tc = T1 + T0 / 2;
            break;
        default:
            Ta = 0;
            Tb = 0;
            Tc = 0;
        }

        // 相电压
        // [0,1] => [-0.5, 0.5] => [-power_supply, +power_supply]
        self->Ua = (Ta - 0.5) * self->power_supply;
        self->Ub = (Tb - 0.5) * self->power_supply;
        self->Uc = (Tc - 0.5) * self->power_supply;

        // pwm占空比
        self->Ta = Ta;
        self->Tb = Tb;
        self->Tc = Tc;
    }
    break;
    default:
        break;
    }
}

输出效果

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参考代码
一分钟玩转FOC SVPWM https://www.bilibili.com/video/BV1PC411n7QQ
ESP32单片机仿真代码: https://wokwi.com/projects/396507548266030081