FOC算法学习与实现笔记-04.高频方波注入提取位置公式推导

高频方波注入提取位置公式推导

• 作用
  • 可以在电机d轴（或估计的d轴）注入高频方波，
  • 然后通过提取电流响应信号，
  • 来估算电机转子的角度。
• 方法
  • 把pwm信号的两个周期作为高频方波信号的周期
  • 往电机的D轴注入电压信号
  • 在方波的上半个周期注入正电压，
  • 在方波的下半个周期注入负电压。

dq轴电压、电流方程

$$\begin{array}{rl}{U}_d& =R{I}_d+L_d\frac{d}{dt}{I}_d-{\omega }_e{L}_q{I}_q\\ U_q& =R{I}_q+L_q\frac{d}{dt}{I}_q-{\omega }_e{L}_d{I}_d+{\omega }_e{\psi }_f\end{array}$$

简化模型

• 当注入高频电压时，感抗电压远远大于电阻和磁链的压降，
• 所以电阻和磁链上的电压响应可以忽略不计

$$\begin{gathered} U_d=L_d\frac{d}{dt}{I}_d \\ {U}_q=L_q\frac{d}{dt}{I}_q \end{gathered}$$

写成矩阵形式

$$\left[\begin{array}{c}{U}_d\\ U_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{L}_d\frac{d}{dt}& 0\\ 0& L_q\frac{d}{dt}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_d\\ I_q\end{array}\right]$$

写成电流方程

$$\left[\begin{array}{c}{I}_d\\ I_q\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{L}_d\frac{d}{dt}& 0\\ 0& L_q\frac{d}{dt}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{U}_d\\ U_q\end{array}\right]$$

旋转到α-β轴（帕克逆变换）

$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]}^{-1}{\left[\begin{array}{cc}{L}_d\frac{d}{dt}& 0\\ 0& L_q\frac{d}{dt}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{U}_d\\ U_q\end{array}\right]$$

用估计d-q坐标轴电压，表示真实d-q坐标轴电压

• $\hat{d}$ 是估计的d轴
• ${\theta }_e$ 是d轴的实际位置
• $\widehat{{\theta }_e}$是d轴的估计位置
• $\widetilde{{\theta }_e}={\theta }_e-\widehat{{\theta }_e}$ 是d轴实际位置和估计位置的误差
• 

通过帕克变换，就能使用角度误差 $\widetilde{{\theta }_e}$ 和 估计的d-q轴 来表示 真实的d-q轴。

$$\left[\begin{array}{c}{U}_d\\ U_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \widetilde{{\theta }_e}& \sin \widetilde{{\theta }_e}\\ -\sin \widetilde{{\theta }_e}& \cos \widetilde{{\theta }_e}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{U_d}\\ \widehat{U_q}\end{array}\right]$$

代入之前推导出的关系式，
就能得到 估计d-q轴高频电压激励 和 真实α-β轴的高频电流响应 的关系式 。

$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]}^{-1}{\left[\begin{array}{cc}{L}_d\frac{d}{dt}& 0\\ 0& L_q\frac{d}{dt}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}\cos \widetilde{{\theta }_e}& \sin \widetilde{{\theta }_e}\\ -\sin \widetilde{{\theta }_e}& \cos \widetilde{{\theta }_e}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{U_d}\\ \widehat{U_q}\end{array}\right]$$

化简：计算逆矩阵

• 旋转矩阵的逆就是其转置矩阵
• 对角矩阵的逆就是把对角元素取倒数

$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{L_d\frac{d}{dt}}& 0\\ 0& \frac{1}{L_q\frac{d}{dt}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \widetilde{{\theta }_e}& \sin \widetilde{{\theta }_e}\\ -\sin \widetilde{{\theta }_e}& \cos \widetilde{{\theta }_e}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{U_d}\\ \widehat{U_q}\end{array}\right]$$

化简：计算矩阵乘法

$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\cos \theta }{L_d\frac{d}{dt}}& \frac{-\sin \theta }{L_q\frac{d}{dt}}\\ \frac{\sin \theta }{L_d\frac{d}{dt}}& \frac{\cos \theta }{L_q\frac{d}{dt}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \widetilde{{\theta }_e}& \sin \widetilde{{\theta }_e}\\ -\sin \widetilde{{\theta }_e}& \cos \widetilde{{\theta }_e}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{U_d}\\ \widehat{U_q}\end{array}\right]$$

化简：假设估计的dq轴位置就是实际dq轴的位置

• 由于估计的dq轴和实际dq轴的误差角度在迭代多次后逐渐逼近0，
• 这将导致旋转矩阵变成单位矩阵
• 也就是假设估计的dq轴位置就是实际dq轴的位置。

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}\frac{\cos \theta }{L_d\frac{d}{dt}}& \frac{-\sin \theta }{L_q\frac{d}{dt}}\\ \frac{\sin \theta }{L_d\frac{d}{dt}}& \frac{\cos \theta }{L_q\frac{d}{dt}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \widetilde{{\theta }_e}& \sin \widetilde{{\theta }_e}\\ -\sin \widetilde{{\theta }_e}& \cos \widetilde{{\theta }_e}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{U_d}\\ \widehat{U_q}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\frac{\cos \theta }{L_d\frac{d}{dt}}& \frac{-\sin \theta }{L_q\frac{d}{dt}}\\ \frac{\sin \theta }{L_d\frac{d}{dt}}& \frac{\cos \theta }{L_q\frac{d}{dt}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{U_d}\\ \widehat{U_q}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\frac{\cos \theta }{L_d\frac{d}{dt}}& \frac{-\sin \theta }{L_q\frac{d}{dt}}\\ \frac{\sin \theta }{L_d\frac{d}{dt}}& \frac{\cos \theta }{L_q\frac{d}{dt}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{U_d}\\ \widehat{U_q}\end{array}\right]\end{array}$$

化简：注入q轴的电压为0

• 由于我们通常只在估计的d-q轴的d轴注入高频电压，
• 所以注入q轴的电压为0，

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}\frac{\cos \theta }{L_d\frac{d}{dt}}& \frac{-\sin \theta }{L_q\frac{d}{dt}}\\ \frac{\sin \theta }{L_d\frac{d}{dt}}& \frac{\cos \theta }{L_q\frac{d}{dt}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{U_d}\\ 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}\frac{\cos \theta }{L_d\frac{d}{dt}}\\ \frac{\sin \theta }{L_d\frac{d}{dt}}\end{array}\right]\widehat{U_d}\\ & =\frac{\widehat{U_d}}{L_d\frac{d}{dt}}\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]\end{array}$$

求出角度

$$\begin{array}{rl}\tan \theta & =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{I_{\beta }}{I_{\alpha }}\\ \theta & =\arctan (\frac{I_{\beta }}{I_{\alpha }})\end{array}$$

改为使用atan2(a,b)计算角度

$$\theta =\text{atan2}(I_{\beta },I_{\alpha })$$

• 因为$\tan (\frac{a}{b})$只能计算出$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$范围的角度,并且无法处理分母为0的情况。
  • 
• 所以这里需要使用 $\text{atan2}(a,b)$ 其可以计算出 $(-\pi ,\pi ]$ 范围的角度。
  • 

参考

无感FOC之高频注入法——永磁同步电机控制 https://aijishu.com/a/1060000000315769