1_特征值与特征向量、动态系统的稳定性分析

《高级控制理论——数学基础》学习笔记

1_特征值与特征向量

《【工程数学基础】1_特征值与特征向量》王天威（网名DR_CAN），博士

1.1 概念和定义

在线性代数中，对于一个线性变换 A，如果存在非零向量 v，使得变换后的向量 Av 与原向量 v 保持在同一条直线上（仅长度改变，方向不变或反向），则称 v 为 A 的特征向量，对应的缩放比例为特征值 λ。

数学表达式为：

$$Av=\lambda v$$

其中：A 为方阵，v 为非零向量，λ 为标量（特征值）。

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直观理解：

通过两个例子对比理解：

案例 1：非特征向量

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -2\end{array}\right],v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$$$$A{v}_1=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$$

$A{v}_1$ 的大小和方向都发生改变，故 $v_1$ 不是特征向量。

案例 2：特征向量

$$v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$$$A{v}_2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=2v_2$$

$A{v}_2$ 方向不变，大小变为原来的 2 倍，故 $v_2$ 是特征向量，λ = 2 是特征值。

1.2 求解方法

1.2.1 理论推导

由定义 $Av=\lambda v$ 出发：

$$\begin{array}{rl}Av& =\lambda v\\ Av-\lambda v& =0\\ (A-\lambda I)v& =0\end{array}$$

其中 I 为 n 阶单位矩阵。

要使上述齐次线性方程组有非零解，系数矩阵的行列式必须为零：

$$|A-\lambda I|=0$$

此方程称为特征方程，展开后是关于 λ 的多项式方程，其根即为特征值。

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1.2.2 计算实例

给定矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -2\end{array}\right]$$

步骤 1：求特征值

$$\begin{array}{rl}|A-\lambda I|& =\left|\left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ 4& -2-\lambda \end{array}\right]\right|=0\\ (1-\lambda )(-2-\lambda )-4& =0\\ {\lambda }^2+\lambda -6& =0\\ (\lambda -2)(\lambda +3)& =0\end{array}$$

解得：${\lambda }_1=2$，${\lambda }_2=-3$

步骤 2：求特征向量

当 ${\lambda }_1=2$ 时，代入 $(A-\lambda I)v=0$：

$$\begin{array}{rl}(A-2I)v_1& =\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 4& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_{11}\\ v_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

解得：$-v_{11}+v_{12}=0$，即 $v_{11}=v_{12}$

取 $v_{11}=1$，则特征向量为：

$$v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

当 ${\lambda }_2=-3$ 时：

$$\begin{array}{rl}(A+3I)v_2& =\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 4& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_{21}\\ v_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

解得：$4v_{21}+v_{22}=0$，即 $v_{22}=-4v_{21}$

取 $v_{21}=1$，则特征向量为：

$$v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right]$$

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总结：

	特征值	特征向量
1	${\lambda }_1=2$	$v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$
2	${\lambda }_2=-3$	$v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right]$

1.3 对角化与解耦

1.3.1 对角化原理

设 $P=[v_1,v_2]$ 为特征向量构成的矩阵（称为过渡矩阵或相似变换矩阵），其中 $v_1$ 和 $v_2$ 是矩阵 A 的两个线性无关的特征向量。

$$\begin{array}{rl}AP& =A[v_1,v_2]=\left[\begin{array}{cc}A{v}_1& A{v}_2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1{v}_1& {\lambda }_2{v}_2\end{array}\right]\text{（利用 }A{v}_i={\lambda }_i{v}_i\text{）}\\ & =\left[\begin{array}{cc}{v}_{11}& v_{21}\\ v_{12}& v_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]\\ & =P\mathrm{\Lambda }\end{array}$$

其中 $\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]$ 称为对角矩阵。

于是得到：

$$AP=P\mathrm{\Lambda }$$

两边左乘 $P^{-1}$：

$$P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$$

这是一个核心结论：通过相似变换，将矩阵 A 对角化。

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1.3.2 解微分方程组

考虑状态空间方程（控制理论中的常用形式）：

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}{x}_1& =x_1+x_2\\ \frac{d}{dt}{x}_2& =4x_1-2x_2\end{array}$$

写成矩阵形式：

$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$

一般形式为：

$$\dot{x}=Ax$$

求解过程：

令 $x=Py$，则 $\dot{x}=P\dot{y}$，代入重写原方程：

$$P\dot{y}=APy$$

两边左乘 $P^{-1}$：

$$\dot{y}=P^{-1}APy=\mathrm{\Lambda }y$$

其中：

$$\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right]$$

展开得到：

$$\begin{array}{rl}\dot{y}& =\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]\\ {\dot{y}}_1& =2y_1+0y_2=2y_1\\ {\dot{y}}_2& =0y_1-3y_2=-3y_2\end{array}$$

可以发现方程利用对角矩阵上的 $0$ 实现了解耦，即:关于$y_1$和$y_2$的两个方程相互独立。

求解这两个独立的微分方程：

$$y_1=c_1{e}^{2t},y_2=c_2{e}^{-3t}$$

最后通过 $x=Py$ 求解原变量：

$$\begin{array}{rl}x& =Py=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1{e}^{2t}\\ c_2{e}^{-3t}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}{c}_1{e}^{2t}+c_2{e}^{-3t}\\ c_1{e}^{2t}-4c_2{e}^{-3t}\end{array}\right]\end{array}$$

工程意义： 在控制理论中，系统矩阵A的特征值的符号直接决定系统稳定性：

• 所有特征值实部为负 → 系统稳定（本例中特征值 λ₂ = -3 < 0，但 λ₁ = 2 > 0）
• 存在正实部特征值 → 系统不稳定
• 因此常通过特征值分析判断系统性质，无需求解完整方程

1.4 总结

要点	内容
定义	$Av=\lambda v$，变换后向量与原向量共线
求特征值	解特征方程 $|A-\lambda I|=0$
求特征向量	代入 $(A-{\lambda }_{i}I)v_i=0$ 求解
对角化	$P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$，其中 P 为特征向量矩阵，Λ 为对角矩阵
核心应用	解耦微分方程组 $\dot{x}=Ax$，通过坐标变换得到 $\dot{y}=\mathrm{\Lambda }y$
工程意义	特征值的实部符号直接反映系统稳定性分析