2_泰勒一阶线性化、动态系统在平衡点附近的扰动分析

《高级控制理论——数学基础》学习笔记

2_线性化_泰勒级数_泰勒公式_Linearization

• 《【工程数学基础】2_线性化_泰勒级数_泰勒公式_Linearization》王天威（网名DR_CAN），博士
• 介绍一种通用的线性化方法，不仅限于控制理论方面的应用。

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一、线性系统

对于一个线性系统，它应该符合叠加原理。

即对于系统 $\dot{x}=f(x)$，满足：

1. $x_1,x_2$ 是解
2. $x_3=k_1{x}_1+k_2{x}_2$ （其中 $k_1,k_2$ 为常数）
3. $x_3$ 也是解

符合以上三点，就可以说系统是线性的。

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示例

方程	是否为线性系统	原因
$\ddot{x}+2\dot{x}+\sqrt{2}x=0$	✅ 是	所有项都是线性的
$\ddot{x}+2\dot{x}+\sqrt{2}{x}^2=0$	❌ 否	含有 $x^2$ 平方项
$\ddot{x}+\sin (\dot{x})+\sqrt{2}x=0$	❌ 否	含有 $\sin$ 非线性函数

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二、线性化方法

2.1 泰勒级数基础

泰勒级数展开式：

$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

其中 $x_0$ 为展开点，泰勒级数在这一点附近展开。

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2.2 一阶线性化原理

关键思想：当 $x$ 非常接近 $x_0$ 时（即 $x-x_0\to 0$），高阶项 $(x-x_0{)}^n$ 非常小，可以忽略不计。

因此在 $x_0$ 附近，泰勒级数简化为：

$$\boxed{{\displaystyle f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}}$$

这是泰勒展开的一阶近似。

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2.3 线性化的几何意义

令其中的常数项 $f(x_0)=k_1$，$f^{\prime }(x_0)=k_2$，则有：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =k_1+k_2(x-x_0)\\ & =k_1+k_{2}x-k_2{x}_0\\ & =k_{2}x+(k_1-k_2{x}_0)\\ & =k_{2}x+b\end{array}$$

其中 $k_2=\tan \theta$ 为斜率，$b=k_1-k_2{x}_0$ 为截距。

结论：通过泰勒一阶展开，将非线性函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近用直线 $y=k_{2}x+b$ 近似。

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2.4 单变量线性化示例：$\sin x$

问题：在 $x_0=0$ 附近将 $f(x)=\sin x$ 线性化。

求解：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\\ \sin x& =\sin 0+\cos 0\cdot (x-0)\\ & =0+1\cdot x\\ & =x\end{array}$$

因此，在 $x=0$ 附近，$\sin x$ 的线性化形式为 $\boxed{{\displaystyle x}}$。

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验证与误差分析

$x$	$\sin x$（精确值）	线性化 $x$	相对误差
$\frac{\pi }{6}\approx 0.52$	$0.5$	$0.52$	$\frac{0.52-0.5}{0.5}\times 100\mathrm{\%}=4\mathrm{\%}$
$\frac{\pi }{4}\approx 0.79$	$0.707$	$0.79$	$\frac{0.79-0.707}{0.707}\times 100\mathrm{\%}\approx 11\mathrm{\%}$

重要结论：

• 线性化是在某一点附近的局部近似，不是全局近似
• 越接近展开点，误差越小
• 误差来源：忽略了泰勒展开中的二阶及高阶项

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三、微分方程的线性化

3.1 一阶系统线性化示例

问题：在平衡点附近线性化以下非线性微分方程

$$\ddot{x}+\dot{x}+\frac{1}{x}=1$$

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步骤1：求平衡点

平衡点的定义：所有导数项为 0 的点。

$$\begin{array}{rl}\ddot{x}& =0,\dot{x}=0\\ \Rightarrow 0+0+\frac{1}{x}& =1\\ \Rightarrow x_0& =1\end{array}$$

因此平衡点为 $x_0=1$。

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步骤2：引入小偏差变量

令 $x=x_0+x_d$，其中 $x_d$ 为小偏差量。

相应地：

$$\begin{gathered} \dot{x}={\dot{x}}_0+{\dot{x}}_d={\dot{x}}_d \\ \ddot{x}={\ddot{x}}_0+{\ddot{x}}_d={\ddot{x}}_d \end{gathered}$$

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步骤3：对非线性项进行线性化

非线性项 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x_0=1$ 附近展开：

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{x}& =f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\\ & =\frac{1}{x_0}+{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }{|}_{x=x_0}(x-x_0)\\ & =\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x_0^2}\cdot x_d\\ & =1-x_d\end{array}$$

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步骤4：代入原方程得到线性化方程

将各变量代入原方程：

$$\begin{array}{rl}{\ddot{x}}_d+{\dot{x}}_d+(1-x_d)& =1\\ {\ddot{x}}_d+{\dot{x}}_d-x_d& =0\end{array}$$

上式即为非线性微分方程在平衡点附近的线性化方程。

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3.2 多维系统线性化

一般形式

考虑二维非线性系统：

$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=f_1(x_1,x_2)\\ {\dot{x}}_2=f_2(x_1,x_2)\end{array}$$

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步骤1：确定平衡点

平衡点 $(a,b)$ 满足 $f_1(a,b)=0$ 且 $f_2(a,b)=0$。

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步骤2：一阶泰勒展开

在平衡点处展开，得到：

$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=f_1(a,b)+\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_1-a)+\frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_2-b)\\ {\dot{x}}_2=f_2(a,b)+\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_1-a)+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_2-b)\end{array}$$

写成矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1(a,b)\\ f_2(a,b)\end{array}\right]+\underset{{\displaystyle \text{雅可比矩阵 }\mathbf{J}(a,b)}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}}& {\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_2}}\\ {\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1}}& {\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_2}}\end{array}\right]}}{|}_{x_1=a,x_2=b}\left[\begin{array}{c}{x}_1-a\\ x_2-b\end{array}\right]$$

雅可比矩阵：多变量函数在某点的"导数"，是单变量函数 $dy=f^{\prime }(x_0)dx$ 的推广，只不过用偏导替代了导数。

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步骤3：引入偏差变量并得到线性化方程

定义偏差变量（小增量）：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=a+x_{1d}\\ x_2=b+x_{2d}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1-a=x_{1d}\\ x_2-b=x_{2d}\end{array}$$

相应地，导数关系为：

$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1={\dot{x}}_{1d}\\ {\dot{x}}_2={\dot{x}}_{2d}\end{array}$$

将偏差变量代入泰勒展开式，并利用平衡点条件 $f_1(a,b)=f_2(a,b)=0$，消去常数项，得到线性化系统：

$$\boxed{{\displaystyle \left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_{1d}\\ {\dot{x}}_{2d}\end{array}\right]=\mathbf{J}(a,b)\left[\begin{array}{c}{x}_{1d}\\ x_{2d}\end{array}\right]}}$$

其中雅可比矩阵 $\mathbf{J}(a,b)$ 为：

$$\mathbf{J}(a,b)=\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}}& {\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_2}}\\ {\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1}}& {\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_2}}\end{array}\right]{|}_{(x_1,x_2)=(a,b)}$$

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3.3 二阶系统状态空间线性化示例

问题：将以下二阶非线性方程在平衡点附近线性化

$$\ddot{x}+\dot{x}+\frac{1}{x}=1$$

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步骤1：转换为一阶状态空间形式

引入状态变量 $x_1=x$，$x_2=\dot{x}$，则：

$$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ \dot{x}\end{array}\right]$$

转换为状态方程：

$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=1-{\displaystyle \frac{1}{x_1}}-x_2\end{array}$$

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步骤2：求平衡点

根据平衡点的定义可得：${\dot{x}}_1=0$ 且 ${\dot{x}}_2=0$。

$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_{20}=0\\ {\dot{x}}_2=1-{\displaystyle \frac{1}{x_{10}}}-x_{20}=0\end{array}$$

代入 $x_{20}=0$：

$$1-{\displaystyle \frac{1}{x_{10}}}=0\Rightarrow x_{10}=1$$

因此平衡点为 $(x_{10},x_{20})=(1,0)$。

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步骤3：计算雅可比矩阵

雅可比矩阵的定义：

$$\mathbf{J}(x_1,x_2)=\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}}& {\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_2}}\\ {\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1}}& {\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_2}}\end{array}\right]$$

逐项计算偏导数：

对于 $f_1(x_1,x_2)=x_2$：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}}& ={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_1}}(x_2)=0\\ {\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_2}}& ={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_2}}(x_2)=1\end{array}$$

对于 $f_2(x_1,x_2)=1-{\displaystyle \frac{1}{x_1}}-x_2$：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1}}& ={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_1}}(1-{\displaystyle \frac{1}{x_1}}-x_2)={\displaystyle \frac{1}{x_1^2}}\\ {\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_2}}& ={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{x_1}}-x_2)=-1\end{array}$$

因此雅可比矩阵为：

$$\mathbf{J}(x_1,x_2)=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ {\displaystyle \frac{1}{x_1^2}}& -1\end{array}\right]$$

在平衡点 $(1,0)$ 处：

$$\mathbf{J}(1,0)=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$

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步骤4：得到线性化方程

$$\boxed{{\displaystyle \left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_{1d}\\ {\dot{x}}_{2d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{1d}\\ x_{2d}\end{array}\right]}}$$

其中 $x_{1d}=x_1-1$，$x_{2d}=x_2$。该方程即为非线性系统在平衡点 $(1,0)$ 附近的线性化方程。

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四、为什么微分方程线性化要引入偏差变量？

两种线性化场景的对比

场景	示例	目的	是否需要偏差变量
函数近似	$\sin x\approx x$	简化计算，方便分析	❌ 不需要
平衡点分析	$\ddot{x}+\dot{x}+\frac{1}{x}=1$	分析系统受到小扰动后的稳定性	✅ 需要

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偏差变量引入的逻辑

分析目标：研究系统在平衡点附近受到小扰动后的响应

平衡点 x₀ ────────► 小扰动 ────────► 演化行为
   (稳定状态)          x_d           (稳定/不稳定？)

数学实现：

1. 定义偏差：$x_d=x-x_0$（$x_d$ 表示偏离平衡点的扰动量）
2. 泰勒线性化：$\frac{1}{x}=\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x_0^2}{x}_d$
3. 消去常数项：平衡点处满足原方程，常数项自然消去
4. 得到齐次线性方程：${\ddot{x}}_d+{\dot{x}}_d-x_d=0$

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关键点

• 偏差变量 $x_d$：直接代表"扰动量"，其导数 ${\dot{x}}_d,{\ddot{x}}_d$ 表示扰动的变化率
• 线性化方程：描述的是"扰动如何演化"，而非"绝对位置如何变化"
• 物理意义：通过分析 $x_d$ 的解（衰减/发散/振荡）判断平衡点的稳定性

本质区别：函数线性化是"数学近似"，平衡点线性化是"稳定性分析"。偏差变量是稳定性分析的工具。

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五、总结

要点	内容
函数线性化	$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$，一阶泰勒展开
平衡点	所有导数项为 0 的点，$f_1(x_0)=f_2(x_0)=0$
偏差变量	$x_d=x-x_0$，表示偏离平衡点的扰动量，用于稳定性分析
雅可比矩阵	$\mathbf{J}(x)=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\end{array}\right]$，多变量系统的"导数"
线性化方程	${\dot{x}}_d=\mathbf{J}{x}_d$，描述扰动在平衡点附近的演化
核心应用	通过分析 $x_d$ 的解（衰减/发散）判断系统在平衡点附近的稳定性
两种场景	函数近似（数学计算）vs 平衡点分析（稳定性研究）