3_变声的基础原理_理解卷积的含义_线性时不变系统的冲激响应与卷积

《高级控制理论——数学基础》学习笔记

3_变声的基础原理_理解卷积的含义_线性时不变系统的冲激响应与卷积

《【工程数学基础】3_变声的基础原理_理解卷积的含义_线性时不变系统的冲激响应与卷积》王天威（网名DR_CAN），博士

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一、线性时不变系统（Linear Time-Invariant System）

1.1 线性性质

引入系统算符 $\mathcal{T}\{\cdot \}$ 表示系统的输入输出关系。对于某系统，若输入为 $f(t)$，输出为 $x(t)$，则记为：

$$\mathcal{T}\{f(t)\}=x(t)$$

系统满足线性性质当且仅当以下两个条件同时成立：

（1）可加性：

$$\mathcal{T}\{f_1(t)+f_2(t)\}=\mathcal{T}\{f_1(t)\}+\mathcal{T}\{f_2(t)\}=x_1(t)+x_2(t)$$

（2）齐次性：

$$\mathcal{T}\{a{f}_1(t)\}=a\mathcal{T}\{f_1(t)\}=a{x}_1(t)$$

将可加性与齐次性结合，得到叠加原理：

$$\boxed{{\displaystyle \mathcal{T}\{a_1{f}_1(t)+a_2{f}_2(t)\}=a_1\mathcal{T}\{f_1(t)\}+a_2\mathcal{T}\{f_2(t)\}=a_1{x}_1(t)+a_2{x}_2(t)}}$$

1.2 时不变性质

系统满足时不变性质是指：如果系统对输入 $f(t)$ 的响应为 $x(t)$，即 $\mathcal{T}\{f(t)\}=x(t)$，则对任意时间平移 $\tau$，有：

$$\boxed{{\displaystyle \mathcal{T}\{f(t-\tau )\}=x(t-\tau )}}$$

物理意义：无论在什么时刻对系统施加相同的输入，系统的输出波形保持不变，仅产生相应的时间延迟。

1.3 线性时不变系统示例

弹簧-阻尼系统

弹簧振动阻尼系统是典型的线性时不变系统。以欠阻尼系统为例：

系统动力学方程为：

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=f(t)$$

其中：

• $f(t)$：施加的外力（系统输入）
• $x(t)$：质量块的位移（系统输出）
• $m$：质量
• $c$：阻尼系数
• $k$：弹簧刚度

当施加一个短暂冲击力时，系统响应如图所示：

系统表现出振荡衰减特性，最终因阻尼作用趋于零。

1.4 传递函数表示

在频域中，线性时不变系统可用传递函数框图表示：

数学表达式为：

$$X(s)=F(s)\cdot H(s)$$

其中：

• $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$：输入的拉普拉斯变换
• $H(s)$：系统的传递函数
• $X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}$：输出的拉普拉斯变换

传递函数与卷积的关系

对上述频域方程进行拉普拉斯逆变换：

$${\mathcal{L}}^{-1}[X(s)]={\mathcal{L}}^{-1}[F(s)\cdot H(s)]$$

根据拉普拉斯变换的卷积定理，时域中两函数乘积的逆变换等于原函数的卷积：

$$\boxed{{\displaystyle x(t)=f(t)\ast h(t)={\int }_0^{t}f(\tau )h(t-\tau )d\tau }}$$

其中 $h(t)={\mathcal{L}}^{-1}[H(s)]$ 为系统的冲激响应。此式表明：线性时不变系统的输出等于输入信号与系统冲激响应的卷积。

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二、卷积的直观理解与数学推导

2.1 直观理解：叠加原理的应用

将连续输入信号 $f(t)$ 离散化为若干窄脉冲。为便于理解，将其划分为 $N$ 个时间间隔为 $\mathrm{\Delta }T$ 的矩形脉冲。

在第 $i$ 个时间区间 $[i\mathrm{\Delta }T,(i+1)\mathrm{\Delta }T]$ 内：

• 矩形脉冲高度：$f(i\mathrm{\Delta }T)$（代表该时刻外力的大小，单位：N）
• 矩形脉冲宽度：$\mathrm{\Delta }T$（力的作用持续时间）
• 矩形脉冲面积（冲量）：$A_i=f(i\mathrm{\Delta }T)\cdot \mathrm{\Delta }T$（单位：N·s，表示该时间段内力对系统施加的冲量）

根据叠加原理：

• 第 $i$ 个矩形脉冲的独立响应：$x_i(t)=A_i\cdot h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$
• 系统在任意时刻 $t$ 的总响应为所有历史脉冲响应的叠加：

$$x(t)=\sum _{i=0}^{\lfloor t/\mathrm{\Delta }T\rfloor }\mathrm{\Delta }T\cdot f(i\mathrm{\Delta }T)\cdot h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$$

当 $\mathrm{\Delta }T\to 0$ 时，求和转化为积分：

$$\underset{\mathrm{\Delta }T\to 0}{lim}\sum _i\mathrm{\Delta }T\cdot f(i\mathrm{\Delta }T)\cdot h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)={\int }_0^{t}f(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

2.2 数学推导：基于狄拉克δ函数

单位冲激函数的定义

狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）定义为：

$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ +\mathrm{\infty },& t=0\\ 0,& t>0\end{array}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t)dt=1$$

δ函数具有宽度为零、面积为1的特性，是广义函数。

δ函数的构造序列

定义单位矩形脉冲函数：

$${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\mathrm{\Delta }T},& 0<t<\mathrm{\Delta }T\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

该函数面积为：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)dt=\frac{1}{\mathrm{\Delta }T}\cdot \mathrm{\Delta }T=1$$

取极限：

$$\boxed{{\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }T\to 0}{lim}{\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)=\delta (t)}}$$

系统对δ函数的响应

定义系统的冲激响应 $h(t)$ 为系统对单位冲激输入的响应：

$$\mathcal{T}\{\delta (t)\}=h(t)$$

对有限宽脉冲 ${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)$ 的响应记为 $h_{\mathrm{\Delta }}(t)$：

$$\mathcal{T}\{{\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)\}=h_{\mathrm{\Delta }}(t)$$

2.3 利用线性时不变性质推导卷积公式

步骤1：时不变性

若输入延迟 $i\mathrm{\Delta }T$，输出也相应延迟：

$$\mathcal{T}\{{\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)\}=h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$$

步骤2：齐次性（放大）

将输入放大 $A$ 倍，输出也放大 $A$ 倍：

$$\mathcal{T}\{A\cdot {\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)\}=A\cdot h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$$

步骤3：与连续输入的联系

令 $A=f(i\mathrm{\Delta }T)\cdot \mathrm{\Delta }T$（即第 $i$ 个矩形脉冲的冲量），则：

$$\mathcal{T}\{\mathrm{\Delta }T\cdot f(i\mathrm{\Delta }T)\cdot {\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)\}=\mathrm{\Delta }T\cdot f(i\mathrm{\Delta }T)\cdot h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$$

下表总结了输入-响应对应关系：

系统输入	系统响应	说明
${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)$	$h_{\mathrm{\Delta }}(t)$	单位脉冲响应
${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$	$h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$	时不变：延迟输入得到延迟响应
$A{\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$	$A{h}_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$	齐次性：放大输入得到放大响应
$\mathrm{\Delta }T\cdot f(i\mathrm{\Delta }T){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$	$\mathrm{\Delta }T\cdot f(i\mathrm{\Delta }T)h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$	离散化后第 $i$ 个输入分量及其响应

步骤4：叠加原理求和

根据可加性，将时刻 $t$ 之前的所有历史响应叠加：

$$x(t)=\sum _{i=0}^{\lfloor t/\mathrm{\Delta }T\rfloor }\mathrm{\Delta }T\cdot f(i\mathrm{\Delta }T)\cdot h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)$$

步骤5：取极限得到卷积积分

令 $\mathrm{\Delta }T\to 0$，分析每一项的变化：

（1）时间变量 $i\mathrm{\Delta }T\to \tau$

当时间间隔无限细分时，离散索引 $i$ 与乘积 $i\mathrm{\Delta }T$ 的关系满足：

• 在 $\mathrm{\Delta }T\to 0$ 过程中，求和上限 $\lfloor t/\mathrm{\Delta }T\rfloor \to \mathrm{\infty }$
• 每个离散时间点 $i\mathrm{\Delta }T$ 填满区间 $[0,t]$
• 引入连续变量 $\tau =i\mathrm{\Delta }T$，则 $\tau \in [0,t]$

（2）微元 $\mathrm{\Delta }T\to d\tau$

从黎曼积分的定义出发：

$$\underset{\mathrm{\Delta }T\to 0}{lim}\sum _{i=0}^{\lfloor t/\mathrm{\Delta }T\rfloor }g(i\mathrm{\Delta }T)\cdot \mathrm{\Delta }T={\int }_0^{t}g(\tau )d\tau$$

其中 $\mathrm{\Delta }T$ 作为离散求和的微元，在极限下转化为积分的微分 $d\tau$。

（3）冲激响应的收敛 $h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)\to h(t-\tau )$

根据 ${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)\to \delta (t)$ 的构造序列，对应的系统响应满足：

$$\underset{\mathrm{\Delta }T\to 0}{lim}{h}_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)=\underset{\mathrm{\Delta }T\to 0}{lim}\mathcal{T}\{{\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)\}=\mathcal{T}\{\delta (t-\tau )\}=h(t-\tau )$$

此处利用了系统算符 $\mathcal{T}$ 的连续性。

（4）求和向积分的转化

综合以上分析，离散求和转化为连续积分：

$$\begin{array}{rl}x(t)& =\underset{\mathrm{\Delta }T\to 0}{lim}\sum _{i=0}^{\lfloor t/\mathrm{\Delta }T\rfloor }\mathrm{\Delta }T\cdot f(i\mathrm{\Delta }T)\cdot h_{\mathrm{\Delta }}(t-i\mathrm{\Delta }T)\\ & ={\int }_0^{t}f(\tau )h(t-\tau )d\tau \\ & \boxed{{\displaystyle =f(t)\ast h(t)}}\end{array}$$

此即卷积积分公式。

2.4 传递函数与冲激响应的关系

线性时不变系统的冲激响应 $h(t)$ 可以完全定义该系统。这是因为：

（1）从频域验证

对冲激响应进行拉普拉斯变换：

$$\mathcal{L}\{h(t)\}=\mathcal{L}\{\mathcal{T}\{\delta (t)\}\}=\mathcal{L}\{\delta (t)\}\cdot H(s)$$

由于 $\mathcal{L}\{\delta (t)\}=1$，故：

$$\boxed{{\displaystyle H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}}}$$

（2）物理意义

• 冲激响应 $h(t)$ 携带了系统的全部动态特性（频率、阻尼、相位等）
• 对于任意输入 $f(t)$，通过 $x(t)=f(t)\ast h(t)$ 即可求得系统输出
• 这解释了为何传递函数用 $H(s)$ 表示：$H(s)$ 正是冲激响应的频域表示

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三、应用：变声技术的基础原理

3.1 空间冲激响应

根据上述理论，如果能够获得某空间环境的单位冲激响应，将该冲激响应与任意音频信号卷积，即可得到在该环境中录制该音频的效果。

物理过程示例：

在浴室环境中，用饭勺或擀面杖猛烈敲击，产生持续时间极短、能量集中的声音。此声音可近似为δ函数，其在空间中产生的混响效果即该空间的单位冲激响应 $h_{\text{浴室}}(t)$。

3.2 卷积变声

设干声（原始人声）信号为 $f(t)$，空间的冲激响应为 $h(t)$，则模拟的湿声（带环境音效）为：

$$x(t)=f(t)\ast h(t)$$$$\boxed{{\displaystyle x_{\text{浴室声音}}(t)=f_{\text{人声}}(t)\ast h_{\text{浴室冲激响应}}(t)}}$$

技术实现流程：

1. 采集冲激响应：录制击掌声、气球爆破声等作为环境的单位冲激响应
2. 录制干声：在消声室或安静环境中录制原始人声
3. 卷积运算：通过数字信号处理算法计算两信号的卷积
4. 输出结果：得到包含空间环境音效的合成音频

此原理广泛应用于：

• 音乐制作（混响效果器）
• 电影音效处理
• 游戏音频设计
• 虚拟现实环境模拟

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四、总结

要点	内容
线性时不变系统	满足叠加原理 $\mathcal{T}\{a_1{f}_1(t)+a_2{f}_2(t)\}=a_1{x}_1(t)+a_2{x}_2(t)$ 和时不变性 $\mathcal{T}\{f(t-\tau )\}=x(t-\tau )$ 的系统
冲激响应	系统对单位冲激输入 $\delta (t)$ 的响应 $h(t)$，通过 $\mathcal{T}\{\delta (t)\}=h(t)$ 定义
卷积积分	$x(t)=f(t)\ast h(t)={\int }_0^{t}f(\tau )h(t-\tau )d\tau$，输出等于输入与冲激响应的卷积
传递函数	$H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}$，传递函数是冲激响应的频域表示，$X(s)=F(s)\cdot H(s)$
物理直观	将连续输入分解为若干窄脉冲，利用线性时不变性质叠加各脉冲响应，取极限得到卷积积分
狄拉克δ函数	宽度为零、面积为1的广义函数，${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t)dt=1$，用于构造冲激响应
卷积定理	${\mathcal{L}}^{-1}[F(s)\cdot H(s)]=f(t)\ast h(t)$，频域乘积对应时域卷积
核心应用	变声与混响技术：$x_{\text{湿声}}(t)=f_{\text{干声}}(t)\ast h_{\text{空间冲激响应}}(t)$，模拟不同声学环境效果
工程意义	冲激响应完全定义线性时不变系统，通过一次测量即可获得系统全部动态特性，用于音频处理、信号滤波等领域