6_SinX=2？复变函数 欧拉公式

《高级控制理论——数学基础》学习笔记

6_SinX=2？复变函数 欧拉公式

《【工程数学基础】6_SinX=2？复变函数 欧拉公式》王天威（网名DR_CAN），博士

作者指出："没（什么实际）含义。就是反复运用欧拉公式。巩固记忆。"

问题的提出

在实数域中，$\sin x$ 的图像如下所示，其值域为 $[-1,1]$：

这一结论的前提是定义域为实数，即 $x\in \mathbb{R}$。

问题：若将定义域扩展到复数域，即 $x\in \mathbb{C}$，是否存在复数解使得 $\sin x=2$？更一般地，对于 $C>1$，方程 $\sin z=C$ 是否有解？

复数基本知识回顾

复数的代数形式

复数可表示为：

$$z=a+bi$$

其中 $i$ 为虚数单位，满足 $i^2=-1$。在复平面上，横轴为实轴 $\text{Re}$，纵轴为虚轴 $\text{Im}$。

复数相等条件

对于两个复数 $Z_1=a_1+b_{1}i$ 和 $Z_2=a_2+b_{2}i$，$Z_1=Z_2$ 当且仅当：

$$a_1=a_2\text{且}{b}_1=b_2$$

即：两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

欧拉公式与复数的指数形式

欧拉公式：

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

两边同乘 $r$，得到复数的指数形式：

$$r{e}^{i\theta }=r\cos \theta +ir\sin \theta$$

其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。在复平面上，这表示一个长度为 $r$ 的向量，其实部 $a=r\cos \theta$，虚部 $b=r\sin \theta$。

因此，复数有两种等价的表达方式：

• 代数形式：$Z=a+bi$
• 指数形式：$Z=r{e}^{i\theta }$

其中：

$$r=\sqrt{a^2+b^2},\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$$

问题求解

回到原问题：求解方程 $\sin z=C$，其中 $C>1$ 为实常数。

令复数 $z=a+bi$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$。

步骤一：导出正弦函数的指数表达式

根据欧拉公式：

$$\begin{array}{rl}{e}^{iz}& =\cos z+i\sin z\text{①}\\ e^{-iz}& =\cos (-z)+i\sin (-z)=\cos z-i\sin z\text{②}\end{array}$$

注：$\cos (-z)=\cos z$，$\sin (-z)=-\sin z$ 对任意复数 $z$ 均成立（由欧拉公式可验证）。

①式减去②式：

$$e^{iz}-e^{-iz}=(\cos z+i\sin z)-(\cos z-i\sin z)=2i\sin z$$

因此，复数正弦函数可表示为：

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

步骤二：代入复数形式

将 $z=a+bi$ 代入方程 $\sin z=C$：

$$\frac{e^{i(a+bi)}-e^{-i(a+bi)}}{2i}=C$$

化简指数部分：

$$\frac{e^{ai}{e}^{-b}-e^{-ai}{e}^b}{2i}=C$$

再利用欧拉公式展开 $e^{ai}$ 和 $e^{-ai}$：

$$e^{ai}=\cos a+i\sin a,e^{-ai}=\cos a-i\sin a$$

代入得：

$$\frac{(\cos a+i\sin a)e^{-b}-(\cos a-i\sin a)e^b}{2i}=C$$

展开并整理分子：

$$\frac{(e^{-b}-e^b)\cos a+i(e^{-b}+e^b)\sin a}{2i}=C$$

步骤三：分离实部与虚部

分子分母同除以 $i$：

$$\frac{1}{2}(e^{-b}-e^b)\cos a\cdot (-i)+\frac{1}{2}(e^{-b}+e^b)\sin a=C$$

整理为标准复数形式：

$$\underset{\text{实部}}{\underbrace{\frac{1}{2}(e^{-b}+e^b)\sin a}}+i\underset{\text{虚部}}{\underbrace{\frac{1}{2}(e^b-e^{-b})\cos a}}=C+0i$$

根据复数相等条件，实部和虚部分别相等：

$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{e^{-b}+e^b}{2}\sin a=C}& \text{--- (实部方程)}\\ {\displaystyle \frac{e^b-e^{-b}}{2}\cos a=0}& \text{--- (虚部方程)}\end{array}$$

步骤四：解方程组

首先解虚部方程：

$$\frac{e^b-e^{-b}}{2}\cos a=0$$

有两种可能：

1. $\cos a=0$，即 $a=\frac{\pi }{2}+k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$
2. $e^b-e^{-b}=0$，即 $e^b=e^{-b}$，这意味着 $b=0$

接下来解实部方程：

$$\frac{e^{-b}+e^b}{2}\sin a=C$$

• 情形一：若 $b=0$

  $$\frac{1+1}{2}\sin a=C\Rightarrow \sin a=C$$

  由于 $a\in \mathbb{R}$ 且 $C>1$，此方程无实数解。

• 情形二：若 $a=\frac{\pi }{2}+k\pi$

  需要进一步考察 $\sin a$ 的符号：

  • 当 $a=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 时，$\sin a=1$
  • 当 $a=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$ 时，$\sin a=-1$

  由于 $C>1$，必须取 $\sin a=1$，因此：

  $$a=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

  代入实部方程：

  $$\frac{e^{-b}+e^b}{2}\cdot 1=C$$$$e^b+e^{-b}=2C$$

  两边同乘 $e^b$：

  $$e^{2b}-2C{e}^b+1=0$$

  令 $u=e^b$（注意 $u>0$），得：

  $$u^2-2Cu+1=0$$

  由求根公式：

  $$u=\frac{2C\pm \sqrt{4C^2-4}}{2}=C\pm \sqrt{C^2-1}$$

  由于 $C>1$，两个根均为正数，因此：

  $$e^b=C\pm \sqrt{C^2-1}$$

  取自然对数：

  $$b=\ln (C\pm \sqrt{C^2-1})$$

步骤五：最终结论

综上所述，对于方程 $\sin z=C$（$C>1$）：

$$\boxed{{\displaystyle z=\frac{\pi }{2}+2k\pi +i\ln (C\pm \sqrt{C^2-1}),k\in \mathbb{Z}}}$$

特例：当 $C=2$ 时，

$$\sin z=2\Rightarrow z=\frac{\pi }{2}+2k\pi +i\ln (2\pm \sqrt{3}),k\in \mathbb{Z}$$

说明

这个问题的价值在于：

1. 展示了复变函数与实变函数的重要区别：在复数域中，三角函数的值域不再受限于 $[-1,1]$
2. 通过反复运用欧拉公式，熟练掌握复数与指数形式的相互转换
3. 理解复数方程求解中实部与虚部分离的方法论