7_复数有三种表达，你知道么？

丁毅桂2026/3/2大约 4 分钟

《高级控制理论——数学基础》学习笔记

7_复数有三种表达，你知道么？

《【工程数学基础】7_复数有三种表达，你知道么？》王天威（网名DR_CAN），博士

复数的引入

为了解决负数开平方的问题，数学家引入了虚数单位 $i = \sqrt{- 1}$ ，从而形成了复数体系。

考虑一元二次方程：

x^{2} - 2 x + 2 = 0

根据求根公式：

\begin{aligned} x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} \\ = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2} \\ = 1 \pm i \end{aligned}

这个例子说明，当判别式 $b^{2} - 4 a c < 0$ 时，实数范围内无解，但在复数范围内有解。

一、代数形式

定义与表示

复数的代数形式是最直观的表达方式：

Z = a + b i

其中：

$a$ 称为复数的实部，记作 $Re (Z) = a$
$b$ 称为复数的虚部，记作 $Im (Z) = b$
$i$ 是虚数单位，满足 $i^{2} = - 1$

特例

当 $b = 0$ 时， $Z = a$ 为实数
当 $a = 0$ 时， $Z = b i$ 为纯虚数

运算规则

复数加法：

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

复数乘法：

\begin{aligned} (a + b i) (c + d i) & = a c + a d i + b c i + b d i^{2} \\ = a c + (a d + b c) i + b d (- 1) \\ = (a c - b d) + (a d + b c) i \end{aligned}

二、极坐标形式

定义

在复平面上，复数 $Z = a + b i$ 可以表示为一个模（长度）和一个幅角（方向）。

复平面示意图

模的计算

复数的模表示复平面上点到原点的距离：

| Z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

示例： $Z = 3 + 4 i$ ，则 $| Z | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$

幅角的计算

幅角表示复向量与实轴正方向的夹角：

θ = ∠ Z = \arctan \frac{b}{a}

注意：需要根据 $(a, b)$ 所在的象限确定实际角度。

极坐标表示

Z = | Z | ∠ θ

这种形式在进行复数乘除运算时非常方便。

运算规则

乘法：模相乘，幅角相加

Z_{1} \cdot Z_{2} = | Z_{1} | ∠ θ_{1} \cdot | Z_{2} | ∠ θ_{2} = | Z_{1} | | Z_{2} | ∠ (θ_{1} + θ_{2})

除法：模相除，幅角相减

\frac{Z_{1}}{Z_{2}} = \frac{| Z_{1} | ∠ θ_{1}}{| Z_{2} | ∠ θ_{2}} = \frac{| Z_{1} |}{| Z_{2} |} ∠ (θ_{1} - θ_{2})

乘方：模的乘方，幅角的倍数

Z^{n} = (| Z | ∠ θ)^{n} = | Z |^{n} ∠ n θ

三、指数形式

从代数形式到极坐标

将直角坐标与极坐标的关系代入代数形式：

\begin{aligned} a & = | Z | \cos θ \\ b & = | Z | \sin θ \end{aligned}

根据欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ ，代入得：

\begin{aligned} Z & = a + b i \\ = | Z | \cos θ + i | Z | \sin θ \\ = | Z | (\cos θ + i \sin θ) \\ = | Z | e^{i θ} \end{aligned}

这就是复数的指数形式，其中：

$| Z |$ 是模
$θ$ 是幅角（单位：弧度）

示例

将 $Z = 1 + i$ 转换为指数形式：

\begin{aligned} | Z | & = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \\ θ & = \arctan \frac{1}{1} = \frac{π}{4} \\ ∴ Z & = \sqrt{2} e^{i π / 4} \end{aligned}

三种形式的比较

形式	表示方法	适用场景	优点
代数形式	$Z = a + b i$	复数加减运算	直观易懂，计算简单
极坐标形式	$Z = \| Z \| ∠ θ$	幅角、模的分析	几何意义明确
指数形式	$Z = \| Z \| e^{i θ}$	复数乘除、微分方程	运算最为简洁

相互转换示例

例1：代数形式 → 指数形式

将 $Z = \sqrt{3} + i$ 转换为指数形式：

\begin{aligned} | Z | & = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2 \\ θ & = \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{π}{6} \\ ∴ Z & = 2 e^{i π / 6} \end{aligned}

例2：指数形式 → 代数形式

将 $Z = 2 e^{i π / 3}$ 转换为代数形式：

\begin{aligned} a & = 2 \cos \frac{π}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \\ b & = 2 \sin \frac{π}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \\ ∴ Z & = 1 + \sqrt{3} i \end{aligned}

复数运算的便利性

不同形式在不同运算中有优势：

乘法（指数形式最方便）：

Z_{1} \cdot Z_{2} = | Z_{1} | e^{i θ_{1}} \cdot | Z_{2} | e^{i θ_{2}} = | Z_{1} | | Z_{2} | e^{i (θ_{1} + θ_{2})}

除法（指数形式最方便）：

\frac{Z_{1}}{Z_{2}} = \frac{| Z_{1} | e^{i θ_{1}}}{| Z_{2} | e^{i θ_{2}}} = \frac{| Z_{1} |}{| Z_{2} |} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}

乘方（指数形式最方便）：

Z^{n} = (| Z | e^{i θ})^{n} = | Z |^{n} e^{i n θ}

应用：欧拉恒等式的推导

当 $| Z | = 1$ 且 $θ = π$ 时：

\begin{aligned} Z & = | Z | e^{i θ} \\ = 1 \cdot e^{i π} \\ = \cos π + i \sin π \\ = - 1 + i \cdot 0 \\ = - 1 \end{aligned}

因此得到著名的欧拉恒等式：

e^{i π} + 1 = 0

这个公式被誉为"最美的数学公式"，因为它联系了数学中五个最重要的常数：

$e$ ：自然对数的底
$i$ ：虚数单位
$π$ ：圆周率
$1$ ：乘法单位元
$0$ ：加法单位元