动态电路

动态电路

什么是动态电路？

• 电阻电路： 元件上的支路量随着激励的改变而瞬时(理想情况下)改变
• 动态电路：
  • 电容/电感为储能元件，
  • 能量的变化不可能瞬时的(电场/磁场的建立/消散都需要时间)，
  • 表征其储能的电容电压和电感电流必须随时间变化。
  • 所谓动态就是储能元件上的能量随时间改变的过程。

动态电路的过度过程

过度过程（暂态过程）是什么

• 从一个稳态经过换路到另一个稳态的过渡过程
• 

• 稳态1==换路==>稳态2
  =======暂态=======

产生过度过程的两个根本条件

• 电路包含储能元件
• 电路发生改变：
  • 拓扑结构发生改变（如开关换路）
  • 元件参数发生改变（如电压源的幅值、频率）

动态电路过度过程的求解

列写方程

列写方程的两个基本要素：元件约束 + 拓扑约束

阶数

如果一个电路所对应的方程是一阶(/二阶)微分方程，那么这个电路就叫做一阶(/二阶)电路

一阶电路一阶方程

KVL拓扑约束 + RC元件约束:

$$\begin{array}{rl}KVL& :U_s=u_r+u_c\\ R& :U_r=Ri\\ C& :i=C\frac{d{u}_c}{dt}\end{array}$$

元件约束代入KVL:

$$\begin{array}{rl}{U}_s& =u_r+u_c\\ U_s& =RC\frac{d{u}_c}{dt}+u_c\end{array}$$

化微分项系数为1：

$$\frac{d{u}_c}{dt}+\frac{1}{RC}{u}_c=\frac{1}{RC}{U}_s$$

---

二阶电路二阶方程

KVL拓扑约束+RLC元件约束:

$$\begin{array}{rl}KVL& :u_C+u_L+u_R=0\\ C& :i=C\frac{d{u}_C}{dt}\\ L& :u=L\frac{di}{dt}\\ R& :U_r=Ri\end{array}$$

元件约束代入KVL:

$$\begin{array}{r}{u}_C+u_L+u_R=0\\ u_C+L\ast \frac{d(i=C\frac{d{u}_C}{dt})}{dt}+R\ast (i=C\frac{d{u}_C}{dt})=0\\ u_C+LC\frac{d^2(u_C)}{dt}+RC\frac{d{u}_C}{dt}=0\end{array}$$

化微分项系数为1：

$$\frac{d^2(u_C)}{dt}+\frac{R}{L}\frac{d{u}_C}{dt}+\frac{1}{LC}{u}_C=0$$

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求解方程

一阶常系数线性常微分方程

• 常微分方程：方程中的未知量是一个函数，并且这个函数只有一个自变量 $f(x)$
  • 一阶: 最高次数为一次导
  • 线性：函数和函数的导数是线性关系 $\frac{df(t)}{dt}=-2f(t)$
    • 常系数：线性关系的系数是常数 $-2$
  • 齐次方程：方程等号右边为0
  • 非齐次方程：方程等号右边为关于自变量的表达式

齐次方程求解

$$\frac{df(t)}{dt}+2f(t)=0$$

思考

• 什么函数可以满足：$\frac{df(t)}{dt}=-2f(t)$
• 答:
  • 只有自然指数函数的导数还是自然指数函数
  • $f(t)=A{e}^{\lambda t}$
  • $f^{\prime }(t)=A\lambda e^{\lambda t}=\lambda f(t)$
  • 代入原方程：$f^{\prime }(t)-2f(t)=0$
    • $\lambda f(t)-2f(t)=0$
    • $\lambda -2=0$ (特征方程)
    • $\lambda =-2$ (特征根)
  • 所以： $f(t)=A{e}^{-2t}$ (微分方程通解)
  • 如果：
    • 有系统初始条件f(0)=1 则可计算得：A=1
    • 那么： $f(t)=e^{-2t}$ (微分方程特解)

非齐次方程求解

$$\frac{df(t)}{dt}+2f(t)=t^2$$

• 可以把原方程看成是：$\frac{df(t)}{dt}+2f(t)=0+t^2$
• 非齐次方程通解 = 齐次方程通解 + 非齐次方程特解
• 齐次方程通解： $f_a(t)=A{e}^{-2t}$ 可使得方程右边为0
• 非齐次方程特解：
  • 因为二次多项式函数的导数是二次多项式
  • 所以，设其为$f_b(t)=B{t}^2+Ct+D$
  • 则导数为$f_b^{\prime }(t)=2Bt+C+0$
  • 代入原方程$\frac{df(t)}{dt}+2f(t)=t^2$得：
    • $2Bt+C+2\ast (B{t}^2+Ct+D)=t^2$
    • $2Bt+C+2B{t}^2+2Ct+2D=t^2$
    • $(2B)t^2+(2C+2B)t+(2D+C)=t^2$
      • $2B=1$
      • $B=0.5$
      • $2C+2B=0$
      • $C=-0.5$
      • $2D+C=0$
      • $D=0.25$
    • $f_b(t)=0.5t^2-0.5t+0.25$
  • 特解使得方程右边为$t^2$
• 非齐次方程通解 = 齐次方程通解 + 非齐次方程特解
  • $f(t)=f_a(t)+f_b(t)$
  • $=A{e}^{-2t}+0.5t^2-0.5t+0.25$
• 如果：
  • 有系统初始条件f(0)=1 则可计算得：A=0.75

[2 第47讲 动态电路(Dynamic Circuits)(3)]

总结

动态电路的暂态过程如何求解？

1. 根据拓扑约束(KVL、KCL)和元件约束（RLC）列写微分方程
2. 确定初值(t=0)
3. 求特解