一阶电路经典法

丁毅桂2024/12/10大约 3 分钟

一阶电路经典法

RC一阶电路

案例

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1.列写方程（拓扑约束+元件约束）

$u_{R} + u_{c} = U_{s}$
$u_{R} = i R$
$i = C \frac{d (u_{c})}{d t}$

R C \frac{d (u_{c})}{d t} + u_{c} = U_{s}

2.求解方程

齐次项的解

假设解的形式为 $u_{c} = A e^{λ t}$
带入原方程得到特征方程: $R C λ + 1 = 0$
特征根: $λ = - \frac{1}{R C}$
微分方程的齐次通解：

u_{c}^{'} = A e^{λ t} = A e^{- \frac{t}{R C}}

非齐次项的解

$U_{s}$ 是一个常数
显然可得微分方程的非齐次特解：

u_{c}^{″} = U_{s}

通解=齐次通解+非齐次特解

\begin{aligned} u_{c} & = u_{c}^{″} + u_{c}^{'} \\ = U_{s} + A e^{- \frac{t}{R C}} \end{aligned}

3.确定初值

换路前： $u_{c} (0^{-}) = U_{0}$
换路后： $u_{c} (0^{+}) = u_{c} (0^{-}) = U_{0}$

4.确定系数

将 $u_{c} (0^{+}) = U_{0}$ 带入方程确定系数A:
$u_{c} = U_{s} + A e^{- \frac{t}{R C}}$

t=0时：
$U_{0} = U_{s} + A e^{- \frac{0}{R C}}$
$U_{0} = U_{s} + A$

得：

A = U_{0} - U_{s}

5.代入系数

u_{c} = U_{s} + (U_{0} - U_{s}) e^{- \frac{t}{R C}}

RC一阶电路的时间常数

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对RC一阶电路的两个支路量求解可以发现，
他们的指数项时相同的，意味着其变化速率也是相同的。
所以可以定义一个变量 $τ = R C$ 称RC一阶电路的时间常数，单位秒。

u_{c} = U_{s} + (U_{0} - U_{s}) e^{- \frac{t}{R C}}

u_{c} = U_{s} + (U_{0} - U_{s}) e^{- \frac{t}{τ}}

RL一阶电路

案例

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1.列写方程（拓扑约束+原件约束）

KVL

$- U_{R} = u_{L}$
$U_{R} = R * i$

元件约束

$u_{L} = L \frac{d i}{d t}$

整理

\begin{aligned} - R i & = L \frac{d i}{d t} \\ L \frac{d i}{d t} - R i & = 0 \\ \frac{L}{R} \frac{d i}{d t} - i & = 0 \end{aligned}

2.求解方程

齐次项的解

假设解的形式为 $i_{L} = A e^{λ t}$
带入原方程得到特征方程: $\frac{L}{R} λ + 1 = 0$
特征根: $λ = - \frac{1}{\frac{L}{R}} = - \frac{R}{L}$
齐次通解： $i_{L} = A e^{λ t} = A e^{- \frac{R}{L} t}$

3.确定初值

在t=0时刻，

$i (0) = i (0^{+}) = i (0^{-}) = \frac{U_{s}}{R_{1} + R}$

4.确定系数

\begin{aligned} i_{L} & = A e^{- \frac{R}{L} t} \\ A & = \frac{U_{s}}{R_{1} + R} \end{aligned}

5.代入系数

i_{L} = \frac{U_{s}}{R_{1} + R} e^{- \frac{R}{L} t}

RL一阶电路的时间常数

i_{L} = \frac{U_{s}}{R_{1} + R} e^{- \frac{R}{L} t}

定义 $τ = \frac{L}{R}$ 称RL一阶电路的时间常数，单位秒。

i_{L} = \frac{U_{s}}{R_{1} + R} e^{- \frac{t}{τ}}

关于τ的讨论

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工程观点

t=3τ， $e^{- \frac{t}{τ}}$ =0.05
t=5τ， $e^{- \frac{t}{τ}}$ =0.007
所以可以认为，经过3~5τ的时间后，电路的过度过程完全结束。

规律

τ越小，电路的过渡过程越快
τ越大，电路的过渡过程越慢

区别

$τ = R C$ R越大，τ越大，R增大的作用是减缓电容上电荷被中和的速度
$τ = \frac{L}{R}$ R越小，τ越大，R减小的作用是增大L的续流能力保持电感建立的磁场。

总结

一阶电路经典法求解

列写所关心支路量 $x (t)$ 的常微分方程（拓扑约束+原件约束）
根据换路定律，求 $x (0^{+})$ 时刻的数值
求微分方程
- 方程是齐次微分方程，求其齐次通解
- 方程是非齐次微分方程，求其齐次通解+非齐次特解
通过 $x (0^{+})$ 来确定齐次通解的待定系数