任意激励下的时域分析(单位冲激响应)

单位冲激响应（unit impulse response）

单位冲激响应: 电路在单位冲激函数$\delta (t)$作用下的零状态响应ZSR

方法1

列写微分方程，两边求$[0^{+},0^{-}]$的积分。

• 拓扑约束KCL: $i_s=i_C=\delta (t)$
• 元件约束：$i_C=C\frac{du}{dt}$

$$\begin{array}{rl}{i}_c=i_s=\delta (t)& =C\frac{du}{dt}\\ \delta (t)& =C\frac{du}{dt}\\ {\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)dt& ={\int }_{0^{-}}^{0^{+}}C\frac{du}{dt}dt\\ 1& ={\int }_{0^{-}}^{0^{+}}Cdu\\ 1& =C[u(0^{+})-u(0^{-})]\\ 1& =C[u(0^{+})-0]\\ \frac{1}{C}& =u(0^{+})\\ u(0^{+})& =\frac{1}{C}\end{array}$$

对于$t>0^{+}$

$$\begin{array}{rl}u(t)& =u(0^{+})+{\int }_{0^{+}}^t{i}_c(t)dt\\ & =\frac{1}{C}+\frac{1}{C}{\int }_{0^{+}}^t\delta (t)dt\\ & =\frac{1}{C}+0\\ & =\frac{1}{C}\end{array}$$

所以有：

• $i_c(0^{-})=\delta (t)$
• $u_c(t)$
  • $u(0^{-})=0$
  • $u(0^{+})=\frac{1}{C}$
  • $u(t>0)=\frac{1}{C}$

注：单位冲激函数的作用是将单位正电荷移动到电容上。

$$\begin{array}{rl}{q}_c(0^{-})& =0\\ q_c(0^{+})& =C\ast u(0^{+})=C\ast \frac{1}{C}=1\end{array}$$

方法2

观察法

在零状态下，$u_c(0^{-})$=0，如果$i_c$不含冲击，$u_c(0^{+})$则等于0,否则不为0.

$$u_c(0^{+})=u_c(0^{-})+\frac{1}{C}{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}{i}_{c}dt$$

对于更为复杂的电路，不能一眼看出$i_c$中包含单位冲击函数$\delta (t)$的作用时,可以使用假设检验法：

假设$i_c$没有冲击，则$u_c(0^{+})=0$,相当于0值电压源或者导线：

• 
• 通过观察可以发现$i_c=\delta (t)\ne 0$，假设不成立。

所以：

$$u_c(0^{+})=u_c(0^{-})+\frac{1}{C}{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}{i}_{c}dt=0+\frac{1}{C}\ast 1=\frac{1}{C}$$

方法3

理论基础

将单位阶跃响应求导，得到单位冲击响应。

推导：

案例求解/方法步骤

1. 求零状态单位阶跃响应

• 
• 激励为单位阶跃函数
  • 即：$i_s(t)=ϵ(t)$
• 零状态则储能元件初值为0
  • 即：$u_c(0^{-})=0$

于是有：

$$\begin{array}{rl}{i}_{cs}(t)& =i_s(t)=ϵ(t)\\ u_{cs}(t)& =u_c(0^{-})+\frac{1}{C}{\int }_{0^{-}}^t{i}_c(t)dt\\ & =0+\frac{1}{C}{\int }_{0^{-}}^tϵ(t)dt\\ & =\frac{1}{C}(tϵ(t)-tϵ(0^{-}))\\ & =\frac{t}{C}ϵ(t)\end{array}$$

注：

• $u_{cs}$ c表示电容，s表示单位阶跃激励作用下的响应
• $\frac{d}{dt}[tϵ(t)]=ϵ(t)$
• $\int ϵ(t)dt=tϵ(t)$

2. 用单位阶跃响应求单位冲击响应

$$\begin{array}{rl}{i}_{ch}(t)& =\frac{d}{dt}[i_{cs}(t)]\\ & =\frac{d}{dt}[ϵ(t)]\\ & =\delta (t)\\ u_{ch}(t)& =\frac{d}{dt}[u_{cs}(t)]\\ & =\frac{d}{dt}[\frac{t}{C}ϵ(t)]\\ & =\frac{d}{dt}[\frac{t}{C}]ϵ(t)+\frac{t}{C}\frac{d}{dt}[ϵ(t)]\\ & =\frac{1}{C}ϵ(t)+\frac{t}{C}\delta (t)\\ & =\frac{1}{C}ϵ(t)+\frac{0}{C}\delta (t)\\ & =\frac{1}{C}ϵ(t)+0\\ & =\frac{1}{C}ϵ(t)\end{array}$$

注：

• $f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$
• $u_{cs}$ c表示电容，s表示单位阶跃激励作用下的响应
• $u_{ch}$ c表示电容，h表示单位冲击激励作用下的响应

总结：三种方法求例题2

方法一: 对[0^~0^+]积分

对于 t=0

• 拓扑约束
  • KCL: $i_S=i_R+i_C$
  • KVL: $u_R=u_C$
• 元件约束
  • $i_S=\delta (t)$
  • $i_R=u_R/R$
  • $i_C=C\frac{d}{dt}{u}_c$

$$\begin{array}{rl}{i}_S& =i_R+i_C\\ \delta (t)& =u_R/R+C\frac{d}{dt}{u}_c\\ \delta (t)& =u_C/R+C\frac{d}{dt}{u}_c\\ {\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)dt& =\frac{1}{R}{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}{u}_{C}dt+C{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\frac{d}{dt}{u}_{c}dt\\ {\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)dt& =\frac{1}{R}{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}{u}_{C}dt+C{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}d{u}_c\\ 1& =0+C[u_c(0^{+})-u_c(0^{-})]\\ 1& =C[u_c(0^{+})-0]\\ 1& =C{u}_c(0^{+})\\ u_c(0^{+})& =\frac{1}{C}\\ u_c(0^{-})& =0\\ u_c(t)& =\frac{1}{C}ϵ(t)\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{i}_C(t)& =C\frac{d}{dt}{u}_c(t)\\ & =C\frac{d}{dt}[\frac{1}{C}ϵ(t)]\\ & =\frac{C}{C}\frac{d}{dt}[ϵ(t)]\\ & =1\ast \delta (t)\\ & =\delta (t)\end{array}$$

注：$\frac{1}{R}{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}{u}_{C}dt=0$可以理解为$u_C$有界，而积分区间dt是无穷小，有界*无穷小=无穷小$，

另外，可以看出电流完全从电容流过，经过电阻的电流为0，因为电容电压不能突变,而电容初值为0，等效为0值电压源，即短路的导线。

对于 t>0

电流源看成开路

• 拓扑约束
  • KCL: $i_R=i_C$
• 元件约束
  • $i_R=u_R/R$
  • $i_C=C\frac{d}{dt}{u}_c$
• 电容电压解三要素
  • 时间常数： $\tau =RC$
  • 初值： $u_c(0^{+})=\frac{1}{C}$
  • 稳态： $u_c(+\mathrm{\infty })=0$
• 电容电流解三要素
  • 时间常数： $\tau =RC$
  • 初值： $i_c(0^{+})=\frac{u_C(0^{+})}{R}=\frac{1}{RC}$
  • 稳态： $i_c(+\mathrm{\infty })=0$

$$\begin{array}{rl}{u}_c(t)& =u_c(+\mathrm{\infty })-[u_c(0^{+})-u_c(+\mathrm{\infty })]e^{-\frac{1}{\tau }}\\ & =0-[\frac{1}{C}-0]e^{-\frac{1}{RC}}\\ & =\frac{1}{C}{e}^{-\frac{1}{RC}}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{i}_c(t)& =i_c(+\mathrm{\infty })-[i_c(0^{+})-i_c(+\mathrm{\infty })]e^{-\frac{1}{\tau }}\\ & =0-[\frac{1}{RC}-0]e^{-\frac{1}{RC}}\\ & =-\frac{1}{RC}{e}^{-\frac{1}{RC}}\end{array}$$

方法二: 观察法

对于 t=0

假设$u_c(0^{+})=0$即在$[0^{-},0^{+}]$电容电压保持不变，
那么电容始终等效为0值电压源，即导线。则：

• 假设：$u_c(0^{+})=0$ 则 $i_c(t)=\delta (t)$
• 检验：$u_c(0^{+})=u_c(0^{-})+\frac{1}{C}{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}{i}_{c}dt$
  • $=0+\frac{1}{C}$
  • $=\frac{1}{C}$
  • $\ne 0$ 说明假设错误。

对于 t>0

按三要素法分析....

方法三：求单位阶跃响应的导数

先求单位阶跃响应

• 拓扑约束
  • KCL: $i_S=i_R+i_C$
  • KVL: $u_R=U_C$
• 元件约束
  • $i_S=ϵ(t)$
  • $i_R=u_R/R$
  • $i_C=C\frac{d}{dt}{u}_c$
• 电容电流解三要素
  • 时间常数： $\tau =RC$
  • 初值： $i_c(0^{+})=ϵ(0^{+})=1$
  • 稳态： $i_c(+\mathrm{\infty })=0$
• 电容电压解三要素
  • 时间常数： $\tau =RC$
  • 初值： $u_c(0^{+})=u_c(0^{-})=0$
  • 稳态： $u_c(+\mathrm{\infty })=ϵ(t)R=R$

$$\begin{array}{rl}{i}_c(t=0^{-})& =0\\ i_c(t>0+)& =i_c(+\mathrm{\infty })+[i_c(0^{+})-i_c(+\mathrm{\infty })]e^{-\frac{t}{\tau }}\\ & =0+[1-0]e^{-\frac{t}{RC}}\\ & =e^{-\frac{t}{RC}}\\ & =e^{-\frac{t}{RC}}\\ i_{cs}(t)& =e^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{u}_c(t=0^{-})& =0\\ u_c(t>0+)& =u_c(+\mathrm{\infty })+[u_c(0^{+})-u_c(+\mathrm{\infty })]e^{-\frac{t}{\tau }}\\ & =R+[0-R]e^{-\frac{t}{RC}}\\ & =R-R{e}^{-\frac{t}{RC}}\\ & =R[1-e^{-\frac{t}{RC}}]\\ u_{cs}(t)& =R[1-e^{-\frac{t}{RC}}]ϵ(t)\end{array}$$

对单位阶跃响应s(t)求导得到单位冲击响应h(t)

• $h(t)=\frac{d}{dt}s(t)$
• 求导过程中需要带着$ϵ(t)$ 因为是对全时域求导
• 求导经常要用到公式$f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$

$$\begin{array}{rl}{i}_{ch}(t)& =\frac{d}{dt}{i}_{cs}(t)\\ & =\frac{d}{dt}[e^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)]\\ & =\frac{d}{dt}[e^{-\frac{t}{RC}}]ϵ(t)+e^{-\frac{t}{RC}}\frac{d}{dt}[ϵ(t)]\\ & =-\frac{1}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)+e^{-\frac{t}{RC}}\delta (t)\\ & =-\frac{1}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)+e^{-\frac{0}{RC}}\delta (t)\\ & =-\frac{1}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)+1\delta (t)\\ & =\delta (t)-\frac{1}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{u}_{ch}(t)& =\frac{d}{dt}{u}_{cs}(t)\\ & =\frac{d}{dt}[R[1-e^{-\frac{t}{RC}}]ϵ(t)]\\ & =\frac{d}{dt}[R[1-e^{-\frac{t}{RC}}]]ϵ(t)+R[1-e^{-\frac{t}{RC}}]\frac{d}{dt}[ϵ(t)]\\ & =-R\ast -\frac{1}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)+R[1-e^{-\frac{t}{RC}}]\delta (t)\\ & =\frac{1}{C}{e}^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)+R[1-e^{-\frac{0}{RC}}]\delta (t)\\ & =\frac{1}{C}{e}^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)+R[1-1]\delta (t)\\ & =\frac{1}{C}{e}^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)+0\\ & =\frac{1}{C}{e}^{-\frac{t}{RC}}ϵ(t)\end{array}$$

将方法三的计算结果和函数图像和方法一的对比，可以发现是完全一致的。