初值

换路

假设电路在0时刻换路，定义：

• $0^{-}$ 换路前
• $0^{+}$ 换路后

换路定律

换路前后电容电压不能突变且电荷守恒

电容电压:

$$u_c(t)=u_c(0)+\frac{1}{C}{\int }_0^{t}id\tau$$

经过换路后电容器两端的电压：

$$\begin{array}{rl}{u}_c(0^{+})& =u_c(0^{-})+\frac{1}{C}{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}id\tau \\ & =u_c(0^{-})+0\\ & =u_c(0^{-})\end{array}$$

所以可以用值为 $u=u_c(0^{-})$ 的电压源来等效电容,
实现对$t=0^{+}$时刻支路量的求解

经过换路后电容器两端的电荷：

$$\begin{array}{rl}\frac{u_c(0^{+})}{C}& =\frac{u_c(0^{-})}{C}\\ q_c(0^{+})& =q_c(0^{-})\end{array}$$

换路前后电感电流不能突变且磁链守恒

电感电流:

$$i_c(t)=i_c(0)+\frac{1}{L}{\int }_0^{t}ud\tau$$

经过换路后的电感电流：

$$\begin{array}{rl}{i}_c(0^{+})& =i_c(0^{-})+\frac{1}{L}{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}ud\tau \\ & =i_c(0^{-})+0\\ & =i_c(0^{-})\end{array}$$

所以可以用值为 $i=i_L(0^{-})$ 的电流源来等效电感,
实现对$t=0^{+}$时刻支路量的求解

经过换路后的电感磁链守恒：

$$\begin{array}{rl}\frac{i_c(0^{+})}{L}& =\frac{i_c(0^{-})}{L}\\ {\Psi }_L(0^{+})& ={\Psi }_L(0^{-})\end{array}$$

例题

计算换路后电压表上的电压,是否超过量程50V

换路前，

$i_L(0^{-})=\frac{U}{R}=\frac{10}{10}=1A$

换路后：

$i_L(0^{+})=i_L(0^{-})=1A$

$u_v=-i_L(0^{-})\ast R=-1\ast 10k=-10kV$

利用和避免

• 左图，利用电感特性实现的点火器
• 右图，使用二极管给电感续流避免烧坏电压表

总结

求取初值的步骤

• 求取换路前的电路（电阻电路，稳态电路，电容看作开路，电感看作短路）
  • 找到$u_C(0^{-})$ 或 $i_L(0^{+})$
• 求取$t=0^{+}$时刻的电路
  • 拓扑结构为换路后的
  • 将电容替换为电压源 $u=u_C(0^{+})=u_C(0^{-})$
  • 将电感替换为电流源 $i=i_L(0^{+})=i_L(0^{-})$
  • 求取在 $t=0^{+}$ 时刻关心的任意支路量（电阻电路）