一阶电路三要素法

直观理解

观察使用一阶电路经典法求解的支路量表达式的形式和参数特点。

当$R,L,C>0$ 时 $\tau >0$时 表达式的指数项:

$$\underset{t\to 0}{lim}{e}^{-\frac{t}{\tau }}=1$$$$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-\frac{t}{\tau }}=0$$

这意味着微分方程的非齐次特解为其稳态解

$$\begin{array}{rl}\text{支路量}(t=+\mathrm{\infty })& =\text{稳态解}+A{e}^{-\frac{t}{\tau }}\\ \text{支路量}(t=+\mathrm{\infty })& =\text{稳态解}+0\end{array}$$

齐次特解的待定系数

$$\begin{array}{rl}\text{支路量(}t=0^{+}\text{)}& =\text{稳态解}+A{e}^{-\frac{t}{\tau }}\\ \text{支路量(}t=0^{+}\text{)}& =\text{稳态解}+A\\ A& =\text{稳态解}-\text{支路量(}t=0^{+}\text{)}\\ A& =\text{稳态解}-\text{初值}\end{array}$$

所以

$$\text{支路量(t)}=\text{稳态解}+(\text{稳态解}-\text{初值})e^{-\frac{t}{\tau }}$$

数学理解

激励为常数X

考虑这样一个非齐次微分方程，X为常数。

$$\begin{array}{}\text{(a>0)}& \frac{du}{dt}+au=X\end{array}$$

齐次通解

设

$$u^{\prime }=A{e}^{\lambda t}$$

则

$$\begin{array}{rl}\frac{du}{dt}+au& =0\\ A\lambda e^{\lambda t}+Aa{e}^{\lambda t}& =0\\ \lambda +a& =0\\ \lambda & =-a\end{array}$$

得

$$u^{\prime }=A{e}^{-at}$$

非齐次特解

由于X为常数，所以设其非齐次特解是常数Y

$$u^{″}=Y$$

则

$$\begin{array}{rl}\frac{du}{dt}+au& =X\\ 0+aY& =X\\ Y& =\frac{X}{a}\end{array}$$

得

$$u^{″}=Y=\frac{X}{a}$$

微分方程通解

$$\begin{array}{rl}u& =u^{″}+u^{\prime }\\ u& =\frac{X}{a}+A{e}^{-at}\end{array}$$

由于$a>0$,所以：

$$\begin{array}{rl}\underset{t\to 0}{lim}A{e}^{-at}& =1\\ \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}A{e}^{-at}& =0\end{array}$$

所以有:

$$\begin{array}{rl}\text{初值}=u(t=0)& =\frac{X}{a}+A{e}^{-at}=\frac{X}{a}+A\\ \text{稳态}=u(t=+\mathrm{\infty })& =\frac{X}{a}+A{e}^{-at}=\frac{X}{a}\\ A& =\text{初值}-\text{稳态}\end{array}$$

即

$$u(t)=\text{稳态}+(\text{初值}-\text{稳态})e^{-at}$$

激励为变量x(t)

对于

$$\begin{array}{}\text{(a>0)}& \frac{du}{dt}+au=x(t)\end{array}$$

同样有

$$u(t)=\text{稳态(t)}+[\text{初值(t)}-\text{稳态(t)}]e^{-at}$$

只不过其稳态解和初值都是一个带t的表达式。

周期激励下动态电路的稳态解

例题1

T>>τ意味着电容可以在电压激励的一个周期T之内完成充电或放电的过度过程。

0~T 周期：

三要素

• $\text{初值}=0$
• $\text{稳态}=100$
• $\tau =RC$

$$\begin{array}{rl}{u}_c& =100+(0-100)e^{-\frac{t}{\tau }}\\ & =100-100e^{-\frac{t}{\tau }}\end{array}$$

T~2T 周期：

三要素

• $\text{初值}=100$
• $\text{稳态}=0$
• $\tau =RC$

$$\begin{array}{rl}{u}_c& =0+(100-0)e^{-\frac{t}{\tau }}\\ & =100e^{-\frac{t}{\tau }}\end{array}$$

结果

例题2

计算$u_c$的稳态电压

T is close to τ意味着电容无法在电压激励的一个周期之内完成过度过程

0~T 周期：

三要素

• $\text{初值}=U_1$
• $\text{稳态}=100$ (注意不是$U_2$)
• $\tau =RC$

$$\begin{array}{rlr}{u}_c& =100+(U_1-100)e^{-\frac{t}{\tau }}& t\in [0,T]\end{array}$$

T~2T 周期：

三要素

• $\text{初值}=U_2$
• $\text{稳态}=0$ (注意不是$U_1$)
• $\tau =RC$

$$\begin{array}{rl}{u}_c& =0+(U_2-0)e^{-\frac{t}{\tau }}\\ & =U_2{e}^{-\frac{t}{\tau }}& t\in [0,T]\\ & =U_2{e}^{-\frac{t-T}{\tau }}& t\in [T,2T]\end{array}$$

联立得

$$u_c(t)=\{\begin{array}{ll}100+(U_1-100)e^{-\frac{t}{\tau }}& t\in [0,T]\\ U_2{e}^{-\frac{t-T}{\tau }}& t\in (T,2T]\end{array}$$

电路进入稳态后，将有：

$$\{\begin{array}{l}{U}_2=u_c(1T)=100+(U_1-100)e^{-\frac{1T}{\tau }}\\ U_1=u_c(2T)=U_2{e}^{-\frac{1T}{\tau }}\end{array}$$

解之得：

$$\{\begin{array}{l}{U}_2=100\cdot \frac{1}{1+e^{-\frac{T}{\tau }}}\\ U_1=100\cdot \frac{e^{-\frac{T}{\tau }}}{1+e^{-\frac{T}{\tau }}}\end{array}$$