任意激励下的时域分析(卷积积分)

零状态(ZSR)条件的重要性质

零状态条件的意义在于使得电路的激励和响应之间满足线性关系，从而满足齐次性和可加性。

卷积积分的概念

对于这个任意激励作用下的零状态电路，
由于是零状态，于是激励和响应必然满足线性关系，那么激励和响应必然满足齐次性和可加性。

由于可加性，可以将任意激励在时间轴做划分，把激励看成是多个脉冲函数的和，于是响应就是这些脉冲函数单独作用的和。

划分的时间单位越小，计算精度越高，取极限，就是卷积积分。

卷积积分的推导

对于线性零状态电路，已知激励为单位冲击函数$\delta (t)$，响应为单位冲击响应$h(t)$，
那么只要能把任意激励函数$e(t)$写成包含单位冲击函数的形式，
根据齐次性和可加性，响应$r(t)$也可以写成相同的形式。

第一步，先把任意激励函数写成单位脉冲函数的形式。

第二步，利用齐次性，分析每个单位脉冲激励的响应。

第三步，利用可加性，分析t时刻的响应

第四步，对激励和响应求极限，得到卷积积分

卷积积分的四个结论

例题

• 把电路的响应拆分为零输入响应+零状态响应
• 求解四部曲：
  • ①求 ZIR，零输入响应
  • 求零状态响应
    • ②求 $h(t)$ 单位冲击响应
    • ③求 ZSR=$e(t)\ast h(t)$，计算激励和单位冲击响应的卷积积分得到零状态响应
  • ④求 FS全响应，FS=ZIR+ZSR

① 求ZIR

• 零输入，独立源不作用，储能元件作用；电流源看成开路，整个电路变成RC一阶电路。
• $u_c(+\mathrm{\infty })=0$
• $u_c(0^{+})=3v$
• $\tau =RC=1000k\ast 1u=1s$

$$\begin{array}{rl}{u}_c(t)& =\text{稳态}+(\text{初值}-\text{稳态})e^{-\frac{t}{\tau }}\\ & =u_c(+\mathrm{\infty })+[u_c(0^{+})-u_c(+\mathrm{\infty })]e^{-\frac{t}{\tau }}\\ & =0+(\text{3}-0)e^{-t}\\ & =3e^{-t}\end{array}$$

②求 $h(t)$

零状态，独立源作用，储能元件不作用，储能元件初值为0。

t=0

• 零状态电容看成0值电压源即导线
• 
• $i_C(t)=i_S=\delta (t)$
• $u_C(t)=u_C(0^{-})+\frac{1}{C}{\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)dt=\frac{1}{1\mu }=1M$

$t>0^{+}$

• 换路后电容有初值，看成RC电路
• 
• $u_c(+\mathrm{\infty })=0$
• $u_C(0^{+})=1M$
• $\tau =RC=1s$

$$\begin{array}{rl}{u}_c(t)& =\text{稳态}+(\text{初值}-\text{稳态})e^{-\frac{t}{\tau }}\\ & =u_c(+\mathrm{\infty })+[u_c(0^{+})-u_c(+\mathrm{\infty })]e^{-\frac{t}{\tau }}\\ & =0+(1M-0)e^{-t}\\ & =e^{-t}M\end{array}$$

$h(t)$

$$\begin{array}{r}h(t)=u_c(t)=e^{-t}M\end{array}$$

③求 ZSR=$e(t)\ast h(t)$

$$\begin{array}{rl}{u}_C(t)& =e(t)\ast h(t)\\ & ={\int }_0^{t}e(\tau )\times h(t-\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^t{i}_S(\tau )\times h_{u_c}(t-\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^t{e}^{-2\tau }\mu \times e^{-(t-\tau )}Md\tau \\ & ={\int }_0^t{e}^{-2\tau }\mu \times e^{-t+\tau }Md\tau \\ & =e^{-t}{\int }_0^t{e}^{-2\tau }\times e^{\tau }d\tau \\ & =e^{-t}{\int }_0^t{e}^{-\tau }d\tau \\ & =e^{-t}(e^{-t}{|}_t^0)\\ & =e^{-t}(e^{-0}-e^{-t})\\ & =e^{-t}(1-e^{-t})\\ & =e^{-t}-e^{-2t}\end{array}$$

④求 FS全响应，FS=ZIR+ZSR

$$\begin{array}{rl}{u}_C(t)& =3e^{-t}+e^{-t}-e^{-2t}\\ & =4e^{-t}+-e^{-2t}\end{array}$$