二阶电路数学基础

二阶常系数齐次微分方程求解步骤总结

考虑二阶常系数齐次微分方程：

$$\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)+b\frac{d}{dt}f(t)+cf(t)=0$$

其中 $b$ 和 $c$ 是常数。求解步骤如下：

步骤1：假设解的形式

• 假设解为指数形式： $f(t)=A{e}^{\lambda t}$ （其中 $A$ 是常数）。
• 为什么？ 因为指数函数的导数与自身成比例： $\frac{d}{dt}{e}^{\lambda t}=\lambda e^{\lambda t}$ ，高阶导数也类似，这方便代入微分方程后简化为代数方程。

步骤2：代入方程，得到特征方程

• 将 $f(t)=e^{\lambda t}$ （不妨忽略常数 $A$ ，因为方程是齐次的）代入原方程：$$\frac{d^2}{d{t}^2}(e^{\lambda t})+b\frac{d}{dt}(e^{\lambda t})+c{e}^{\lambda t}=0$$
• 计算导数：$$\frac{d}{dt}(e^{\lambda t})=\lambda e^{\lambda t},\frac{d^2}{d{t}^2}(e^{\lambda t})={\lambda }^2{e}^{\lambda t}$$
• 代入并整理：$${\lambda }^2{e}^{\lambda t}+b\lambda e^{\lambda t}+c{e}^{\lambda t}=0$$
• 除以非零因子 $e^{\lambda t}$ （因为 $e^{\lambda t}\ne 0$ ），得到特征方程：$${\lambda }^2+b\lambda +c=0$$

步骤3：求解特征根

• 特征方程为二次方程：$$\lambda =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2}$$
• 根据判别式 $D=b^2-4ac=b^2-4c$ 的值，特征根分为三种情况：
  1. 两个不同的实根：当 $D>0$ ，根为 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ （实数和不等）。
  2. 重根：当 $D=0$ ，根为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda$ （实数和相等）。
  3. 一对共轭复根：当 $D<0$ ，根为 $\alpha \pm \beta i$ ，其中实部 $\alpha =-\frac{b}{2}$ ，虚部 $\beta =\frac{\sqrt{|D|}}{2}=\frac{\sqrt{|b^2-4ac|}}{2}$ 。

步骤4：根据特征根类型写出通解

通解的形式取决于特征根的类型：

情况1：两个不同的实根（ ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ ）

• 通解： $f(t)=A{e}^{{\lambda }_{1}t}+B{e}^{{\lambda }_{2}t}$
• 为什么？
  因为微分方程是线性齐次的，叠加原理适用：两个独立的特解（$e^{{\lambda }_{1}t}$ 和 $e^{{\lambda }_{2}t}$） 的线性组合构成通解。常数 $A$ 和 $B$ 由初始条件确定。

情况2：重根（ ${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda$ ）

• 通解： $f(t)=(A+Bt)e^{\lambda t}$
• 为什么？
  当根重时，只有一个独立的特解 $e^{\lambda t}$ 。第二个独立的特解通过引入线性因子 $t$ 获得：
• 如何找到第二个解 $t{e}^{\lambda t}$ ？
  使用降阶法（Reduction of Order）：
  • 设第二个解为 $f_2(t)=v(t)e^{\lambda t}$ （其中 $v(t)$ 是待定函数）。
  • 代入原方程，并利用重根条件（ $\lambda =-\frac{b}{2}$ 和 $b^2-4ac=0$ ），简化得 $v^{″}(t)=0$(完整推导在后面)。
  • 解出 $v(t)=Bt$ （或更一般地 $v(t)=A+Bt$ ，但 $A{e}^{\lambda t}$ 已包含在第一个解中），所以第二个解为 $t{e}^{\lambda t}$ 。
  • 因此通解为线性组合： $f(t)=(A+Bt)e^{\lambda t}$ 。

情况3：一对共轭复根（ $\lambda =\alpha \pm i\beta$ ）

• 通解：

  $$\begin{array}{rl}f(t)& =P{e}^{(\alpha +i\beta )t}+Q{e}^{(\alpha -i\beta )t}\\ & =P{e}^{\alpha t}(\cos (\beta t)+i\sin (\beta t))+Q{e}^{\alpha t}(\cos (\beta t)-i\sin (\beta t))\\ & =(P+Q)e^{\alpha t}\cos (\beta t)+(P-Q)e^{\alpha t}i\sin (\beta t)\\ & =A{e}^{\alpha t}\cos (\beta t)+B{e}^{\alpha t}\sin (\beta t)\\ & =e^{\alpha t}(A\cos (\beta t)+B\sin (\beta t))\end{array}$$

• 为什么？
  $f(t)$必须在实数域有意义，所以必须是实值函数，所以P、Q必须为共轭复数才能抵消指数项的虚数。

  $$f(t)=P{e}^{(\alpha +i\beta )t}+Q{e}^{(\alpha -i\beta )t}$$
  • $Q=\bar{P}$ ; P、Q为共轭复数,所以：
    • $P+Q=\text{实数}$
    • $P-Q=\text{纯虚数}$
  • 所以：
    • $A=P+Q=\text{实数}$
    • $B=(P-Q)i=\text{实数}$

  利用欧拉公式,将复指数转换为三角函数，确保解为实函数：

  $$\begin{array}{rl}{e}^{it}& =\cos (t)+i\sin (t)\\ e^{(\alpha \pm i\beta )t}& =e^{\alpha t}(\cos (\beta t)\pm i\sin (\beta t))\end{array}$$

  线性组合后虚部抵消，得到纯实解。常数 $A$ 和 $B$ 由初始条件确定。
  等价形式：

  • $f(t)=R{e}^{\alpha t}\sin (\beta t+\varphi )$ ，其中 $R=\sqrt{A^2+B^2}$ 相位 $\varphi ={\tan }^{-1}\frac{A}{B}$。
  • $f(t)=R{e}^{\alpha t}\cos (\beta t+\varphi )$ ，其中 $R=\sqrt{A^2+B^2}$ 相位 $\varphi ={\tan }^{-1}\frac{B}{A}$。

情况3特殊子情况：零阻尼（无阻尼振动）

• 当 $b=0$ 时（即无阻尼），特征根为纯虚数： $\lambda =\alpha \pm i\beta =\pm i\beta$ （其中 $\alpha =\frac{-b}{2}=0$ ）。
• 通解：$$\begin{array}{rl}f(t)& =e^{\alpha t}(A\cos (\beta t)+B\sin (\beta t))\\ & =e^{0t}(A\cos (\beta t)+B\sin (\beta t))\\ & =1(A\cos (\beta t)+B\sin (\beta t))\\ & =A\cos (\beta t)+B\sin (\beta t)\end{array}$$
• 或者
  $f(t)=R\cos (\beta t+\varphi )$
• 表示无衰减的简谐振荡。

解的物理意义解释（以机械振动或电路系统为例）

二阶常系数齐次微分方程常见于物理系统，如弹簧-质量-阻尼系统或RLC电路（电压或电流的方程）。方程的项分别对应：

• $\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)$ ： 惯性或电感效应（加速度相关）。
• $b\frac{d}{dt}f(t)$ ： 阻尼或电阻效应（速度相关）。
• $cf(t)$ ： 弹性或电容效应（位置相关）。

根的类型对应系统的不同阻尼状态：

• 两个不同的实根（过阻尼，例如 RLC 过阻尼或高阻尼机械系统）：

  • 通解形式： $f(t)=A{e}^{{\lambda }_{1}t}+B{e}^{{\lambda }_{2}t}$ ，其中 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 均为负实数（衰减）。
  • 为什么是线性组合？ 物理上，系统有两个独立的指数衰减模式（例如，电容和电感的能量以不同速率释放）。通解是这两个模式的叠加，因为系统的行为可分解为两个一阶衰减（如 "RC 衰减" 和 "RL 衰减" 的耦合）。每个指数项对应一个衰减通道。
  • 物理意义： 系统平滑地返回平衡点，无振荡。例如：
    • RLC 过阻尼响应：电流或电压缓慢衰减（无振荡）。
    • 机械系统：重物缓慢返回静止位置（如门闭门器过阻尼时）。
  • 数学原因： 特征根不同，解空间维数为 2，两个特解 $e^{{\lambda }_{1}t}$ 和 $e^{{\lambda }_{2}t}$ 线性无关，构成基。

• 重根（临界阻尼，例如 RLC 临界阻尼或理想阻尼机械系统）：

  • 通解形式： $f(t)=(A+Bt)e^{\lambda t}$ 。
  • 为什么有线性因子 $t$ ？ 在临界阻尼时，两个根重合，衰减速率相同，系统无法分离为两个独立模式。线性因子 $t$ 引入"记忆"效应，表示系统在平衡点附近有轻微"过冲"但无振荡。
  • 物理意义： 系统以最快速度返回平衡点而不振荡。例如：
    • RLC 临界阻尼响应：电流或电压快速衰减到零（无振荡）。
    • 机械系统：质量以最小时间返回静止位置（如汽车悬架临界调校）。
  • 数学原因： 降阶法显示，当特征根重时，方程简化为 $v^{″}=0$ ，给出线性 $v(t)$ 。

• 共轭复根（欠阻尼，例如 RLC 欠阻尼或低阻尼机械系统）：

  • 通解形式： $f(t)=e^{\alpha t}(A\cos (\beta t)+B\sin (\beta t))$ ，其中 $\alpha =-\frac{b}{2}$ （通常负，表示衰减）。
  • 物理意义： 系统振荡衰减（阻尼振荡）。实部 $\alpha$ 控制振幅衰减率，虚部 $\beta$ 控制振荡频率。例如：
    • RLC 欠阻尼响应：电流或电压振荡衰减（如无线电调谐电路）。
    • 机械系统：质量围绕平衡点振动并逐渐停止（如弹簧振子带小阻尼）。
  • 零阻尼特殊情况：若 $b=0$ ，则 $\alpha =0$ ，解为 $A\cos (\beta t)+B\sin (\beta t)$ ，表示持续简谐振荡（如理想LC电路或无阻尼摆）。

为什么通解是特解的线性组合？

• 核心数学原因： 线性齐次微分方程的解空间是向量空间（齐次原理）。特征方程提供独立特解：
  • 实根不同：两个指数特解线性无关。
  • 重根：一个指数特解加一个衍生解（通过降阶法）。
  • 复根：通过三角函数形式确保实值解。
• 解的线性组合覆盖所有可能初始条件（如 $f(0)$ 和 $f^{\prime }(0)$ )。

此方法通用，适用于任何二阶常系数齐次线性微分方程。初始条件用于确定常数 $A$ 和 $B$ ，从而得到特解。

降阶法（Reduction of Order）推导过程详解

降阶法是求解重根情况下第二个线性无关特解的核心方法。以下是完整推导（针对二阶常系数齐次微分方程的重根情形）：

问题设定

考虑方程：

$$\frac{d^{2}f(t)}{d{t}^2}+b\frac{df(t)}{dt}+cf(t)=0$$

特征方程 ${\lambda }^2+b\lambda +c=0$ 有重根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda$，其中：

$$\lambda =-\frac{b}{2},\text{且}{b}^2-4ab=0.$$

已知一个特解 $f_1(t)=e^{\lambda t}$，目标是找到第二个线性无关的特解 $f_2(t)$.

降阶法步骤推导

1. 假设第二个解的形式
   设 $f_2(t)=v(t)\cdot f_1(t)=v(t)e^{\lambda t}$，其中 $v(t)$ 是待定函数（非常数）。

2. 计算导数
   • 一阶导数：

   $$\frac{d{f}_2}{dt}=v^{\prime }{e}^{\lambda t}+v\cdot \lambda e^{\lambda t}=e^{\lambda t}(v^{\prime }+\lambda v)$$

   • 二阶导数：

   $$\frac{d^2{f}_2}{d{t}^2}=e^{\lambda t}(v^{\prime }+\lambda v{)}^{\prime }+\lambda e^{\lambda t}(v^{\prime }+\lambda v)=e^{\lambda t}(v^{″}+\lambda v^{\prime }+\lambda (v^{\prime }+\lambda v))$$

   简化得：

   $$\frac{d^2{f}_2}{d{t}^2}=e^{\lambda t}(v^{″}+2\lambda v^{\prime }+{\lambda }^{2}v)$$

3. 代入原方程
   将 $f_2$、$\frac{d{f}_2}{dt}$、$\frac{d^2{f}_2}{d{t}^2}$ 代入原方程：

   $$[e^{\lambda t}(v^{″}+2\lambda v^{\prime }+{\lambda }^{2}v)]+b[e^{\lambda t}(v^{\prime }+\lambda v)]+c\left[v{e}^{\lambda t}\right]=0$$

   因 $e^{\lambda t}\ne 0$，两边除以 $e^{\lambda t}$：

   $$v^{″}+2\lambda v^{\prime }+{\lambda }^{2}v+b{v}^{\prime }+b\lambda v+cv=0$$

   合并同类项：

   $$v^{″}+(2\lambda +b)v^{\prime }+({\lambda }^2+b\lambda +c)v=0(\ast )$$

4. 利用重根条件简化
   • 关键1：因 $\lambda$ 是特征根，满足 ${\lambda }^2+b\lambda +c=0$，故：

   $${\lambda }^2+b\lambda +c=0\Rightarrow \text{系数项消失}$$

   • 关键2：由重根性质 $\lambda =-\frac{b}{2}$，代入系数：

   $$2\lambda +b=2(-\frac{b}{2})+b=-b+b=0$$

   • 方程 $(\ast )$ 简化为：

   $$v^{″}+0\cdot v^{\prime }+0\cdot v=0\Rightarrow \boxed{{\displaystyle v^{″}(t)=0}}$$

5. 求解 $v(t)$
   • 对 $v^{″}(t)=0$ 积分两次：

   $$v^{\prime }(t)=C_1,v(t)=C_{1}t+C_2$$

   其中 $C_1$, $C_2$ 为常数。
   • 第二个特解为：

   $$f_2(t)=v(t)e^{\lambda t}=(C_{1}t+C_2)e^{\lambda t}$$

   • 线性无关性验证：

   ◦ 当 $C_1=0$, $C_2=1$ 时，得 $f_1(t)=e^{\lambda t}$（第一个解）。

   ◦ 当 $C_1=1$, $C_2=0$ 时，得 $f_2(t)=t{e}^{\lambda t}$（第二个解）。

   两者线性无关（因 $\frac{t{e}^{\lambda t}}{e^{\lambda t}}=t$ 非常数）。

6. 通解

   $$f(t)=A\cdot f_1(t)+B\cdot f_2(t)=\boxed{{\displaystyle (A+Bt)e^{\lambda t}}}$$

   其中 $A=C_2$, $B=C_1$ 为任意常数。

为何降阶法有效？

• 数学本质：通过引入函数 $v(t)$，将问题从求解二阶微分方程降阶为求解 $v^{″}(t)=0$（一阶可解问题）。

• 物理对应：在重根情况下（如临界阻尼），系统响应需要额外项 $t{e}^{\lambda t}$ 描述"临界过冲"行为（如最短时间返回平衡点但无振荡）。

对比其他方法

• 参数变易法（Variation of Parameters）：用于非齐次方程，通过变易齐次解的常数求特解，不适用于此处的齐次方程求通解。

• 特征方程法推广：直接由特征根形式导出解的结构（复根时需欧拉公式转换），但无法解释重根下 $t{e}^{\lambda t}$ 的来源。

总结：降阶法是求解重根情形下线性无关特解的标准方法，依赖于特征根的性质和微分方程的线性结构。

二阶常系数非齐次微分方程求解步骤总结

二阶常系数非齐次线性微分方程求解范式

方程形式：

$$\frac{d^{2}f(t)}{d{t}^2}+b\frac{df(t)}{dt}+cf(t)=g(t)$$

其中 $b,c$ 是常数，$g(t)\ne 0$ 是非齐次项（输入激励）。

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求解步骤

步骤1：求对应齐次方程的通解 $f_h(t)$

齐次方程：

$$\frac{d^{2}f(t)}{d{t}^2}+b\frac{df(t)}{dt}+cf(t)=0$$

特征方程：

$${\lambda }^2+b\lambda +c=0$$

判别式：

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4c$$

根据 $\mathrm{\Delta }$ 分类求齐次通解$f_h(t)$：

1. $\mathrm{\Delta }>0$（两不同实根）：$${\lambda }_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2},f_h(t)=A{e}^{{\lambda }_{1}t}+B{e}^{{\lambda }_{2}t}$$
2. $\mathrm{\Delta }=0$（两重根）：$$\lambda =-\frac{b}{2},f_h(t)=(A+Bt)e^{\lambda t}$$
3. $\mathrm{\Delta }<0$（共轭复根）：$${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta ,\alpha =-\frac{b}{2},\beta =\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2},f_h(t)=e^{\alpha t}[C_1\cos (\beta t)+C_2\sin (\beta t)]$$

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步骤2：求非齐次方程的特解 $f_p(t)$

特解形式需根据 $g(t)$ 的类型设定（原则：特解需独立于齐次解）：

类型1：$g(t)=P_n(t)e^{kt}$（多项式×指数）

• 设定规则：$$f_p(t)=t^s{Q}_n(t)e^{kt},\{\begin{array}{ll}s=0& \text{（若 }k\text{ 不是特征根）}\\ s=1& \text{（若 }k\text{ 是单特征根）}\\ s=2& \text{（若 }k\text{ 是重特征根）}\end{array}$$其中 $Q_n(t)$ 是与 $P_n(t)$ 同次的待定多项式。
  s 的含义与取值规则

s 的值	数学条件	特解形式示例	物理意义
s=0	非齐次项的指数 k 不是特征根	如 g(t)=eᵏᵗ·Pₘ(t) 时，设 yₚ(t)=Qₘ(t)eᵏᵗ	激励频率与系统固有频率不同，无共振
s=1	k 是特征方程的单根	如 g(t)=eᵏᵗ 时，设 yₚ(t)=A·t·eᵏᵗ	激励频率等于固有频率，发生共振（振幅线性增长）
s=2	k 是特征方程的重根	如 g(t)=eᵏᵗ 时，设 yₚ(t)=A·t²·eᵏᵗ	强共振（振幅二次增长，系统响应剧烈）

• 示例：
  • $g(t)=3t^2{e}^{2t}$（$k=2$ 非特征根）→ 设 $f_p(t)=(D_0+D_{1}t+D_2{t}^2)e^{2t}$
  • $g(t)=t{e}^{-t}$（$k=-1$ 是单特征根）→ 设 $f_p(t)=t(D_0+D_{1}t)e^{-t}$

类型2：$g(t)=e^{kt}[M\cos (\omega t)+N\sin (\omega t)]$

• 设定规则：

  $$f_p(t)=t^s{e}^{kt}[U\cos (\omega t)+V\sin (\omega t)],s=\{\begin{array}{ll}0& \text{（若 }k+i\omega \text{ 不是特征根）}\\ 1& \text{（若 }k+i\omega \text{ 是特征根）}\end{array}$$

• 示例：

  • $g(t)=\sin (3t)$（即 $k=0,\omega =3$）→ 若 $i3$ 非特征根，设 $f_p(t)=U\cos (3t)+V\sin (3t)$
  • $g(t)=e^{2t}\cos t$ → 若 $2+i$ 是特征根，设 $f_p(t)=t{e}^{2t}(U\cos t+V\sin t)$

计算系数：

将设定好的 $f_p(t)$ 代入非齐次方程，对比系数解出待定常数（如 $D_i,U,V$)。

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步骤3：写出非齐次方程的通解

$$\boxed{{\displaystyle f(t)=f_h(t)+f_p(t)}}$$

其中：

• $f_h(t)$ 含任意常数 $A,B$（由初始条件确定），
• $f_p(t)$ 为不含任意常数的特解。

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解的物理意义（以振动或电路为例）

• 齐次解 $f_h(t)$: 系统的 自由响应（固有行为），

  • 过阻尼（实根）：能量单调衰减（如门缓慢关闭），
  • 临界阻尼（重根）：最快无振荡返回平衡（如汽车悬架临界调校），
  • 欠阻尼（复根）：振荡衰减（如弹簧振子带摩擦）。

• 特解 $f_p(t)$: 系统的 强迫响应（由输入 $g(t)$ 驱动），

  • 体现系统对外部激励的稳态输出（如电路对交流电源的响应），
  • 形式取决于 $g(t)$（如常数输入→常数稳态；正弦输入→同频正弦振荡）。

• 通解 $f(t)$:

  $$\text{总响应}=\text{自由响应（瞬态）}+\text{强迫响应（稳态）}$$

  例如 RLC 电路：

  • 齐次解：电容/电感的固有放电（瞬态），
  • 特解：电源 $g(t)$ 驱动的稳态电流/电压。