一阶电路应用

信号处理

门传输延迟

MOSFET的线性电阻区

• 将MOSFET应用于门电路时，一般认为其工作在线性电阻区；
• 转移特性曲线的斜率表征的就是$U_{gs}=x$时DS极之间的电阻。
• 

MOSFET的寄生参数

• 给MOSFET的栅极和漏极施加电压后,栅极氧化物绝缘层的上下两侧会汇集正负电荷，并形成电场；
• 这就符合电容的定义，$C=\frac{Q}{U}$；
• 即：MOSFET的栅极和漏极之间由于绝缘层的存在，会产生等效电容$C_{g}s$
• 

MOSFET反相器的传输延迟

• 把反相器的输入部分等效简化，实际上就是信号源、电阻、等效电容$C_{gs}$的串联一阶RC电路。
• 
• MOSFET反相器的传输延迟主要来自等效电容$C_{gs}$的充电。
• 时间常数$\tau =RC$
• $\tau$应当远远小于信号源的频率周期
  • 选用$C_{gs}$较小的MOSFET
  • 降低电阻R

缓冲器的传输延迟

• $C_{gs}$充电时间常数$\tau =R_L\times C_{gs}$
• $C_{gs}$放电时间常数$\tau =(R_{ON}//R_L)\times C_{gs}\approx R_{ON}\times C_{gs}$
  

一阶运放电路

微分器

• 拓扑约束
  • KVL $u_i=u_C+u_R+u_o$
  • KCL $i_C=i_R$
• 运放负反馈虚短虚断：
  • $i_C=i_R$
  • $u_{+}=u_{-}=0$
    • $u_i=u_C$
    • $u_o=-u_R$
• 元件约束
  • $i_R=\frac{u_R}{R}$
  • $i_C=C\frac{d}{dt}{u}_C$

输入输出关系推导：

$$\begin{array}{rl}{i}_R& =i_C\\ u_R/R& =C\frac{d}{dt}{u}_C\\ (-u_o)/R& =C\frac{d}{dt}{u}_i\\ -u_o& =RC\frac{d}{dt}{u}_i\\ u_o& =-RC\frac{d}{dt}{u}_i\end{array}$$

积分器

• 拓扑约束

  • KVL $u_i=u_R+u_C+u_o$
  • KCL $i_R=i_C$

• 运放负反馈虚短虚断：

  • $i_C=i_R$
  • $u_{+}=u_{-}=0$
    • $u_i=u_R$
    • $u_o=-u_C$

• 元件约束

  • $i_R=\frac{u_R}{R}$
  • $i_C=C\frac{d}{dt}{u}_C$

• 输入输出关系推导：

$$\begin{array}{rl}{i}_C& =i_R\\ C\frac{d}{dt}{u}_C& =\frac{u_R}{R}\\ C\frac{d}{dt}(-u_o)& =\frac{u_i}{R}\\ \frac{d}{dt}(-u_o)& =\frac{u_i}{RC}\\ (-u_o)& =\frac{1}{RC}\int u_i(\tau )d\tau \\ u_o& =-\frac{1}{RC}\int u_i(\tau )d\tau \end{array}$$

比较器

输入输出关系

$$\begin{array}{rl}{u}_o& =A\times u_d\\ & =\mathrm{\infty }\times (0-u_i)\\ \\ u_o& =-U_{sat};u_i>0;\\ u_o& =+U_{sat};u_i<0;\end{array}$$

正反馈运放

输出是$U_{sat}$或$-U_{sat}$

• 假设输出上有正值微小电压扰动，$u_o+=\mathrm{\Delta }$,
• 由于正反馈，$u_{+}$微增，导致$u_d$微增，
  • $u_d=(u_{+}-u_{-})$
• 由于开环放大倍数，$u_d$微增导致$u_o$急增
  • $u_o=A{u}_d$
• 由于正反馈，$u_o$急增又导致$u_d$急增，
  • $u_d=(u_{+}-u_{-})$
  • $u_d\uparrow =(u_o\uparrow -u_{-})$
• 从而运放输出电压快速达到正饱和$u_{sat}$
  • $u_o=+U_{sat}$
• 反之亦然，输出上有负值微小正扰动，$u_o-=\mathrm{\Delta }$，输出负饱和电压 $u_o=-U_{sat}$
• 总结
  • $u_o=+U_{sat}$
    • $u_d=(u_{+}-u_{-})>0$
    • $u_{+}>u_{-}$
  • $u_o=-U_{sat}$
    • $u_d=(u_{+}-u_{-})<0$
    • $u_{+}<u_{-}$

正反馈运放不满足虚短性质

• 负反馈虚短性质的本质是因为运放输出的$u_o$是有限值，不是正饱和也不是负饱和，而放大倍数A是极大值，那么由于$U_o=A(u_{+}-u_{-})$,其中的$u_d=(u_{+}-u_{-})$必然逼近0值。
• 这里的正反馈运放电路，输出只能是正饱和或负饱和，因此不满足虚短性质。

正反馈运放满足虚短性质

• 
• 由于运放的输入内阻是兆欧级别，所以只要外部电路的电阻为千欧级别，那么分配到运放上的电压就是近似$U_s$，流入的电流也近似看作0值。

迟滞比较器

• 滞回比较器​​/​​迟滞比较器​
• ​​Hysteresis Comparator​​ 或 ​​Schmitt Trigger​​（施密特触发器）
• 
• 双阈值电压​​
  • ​上阈值电压（VTH+）​​：输入电压上升时触发输出跳变的临界值。
  • ​下阈值电压（VTH-）​​：输入电压下降时触发输出跳变的临界值
• 抗干扰能力​​：
  • 通过回差电压（ΔU = VTH+ - VTH-）避免输入信号在阈值附近抖动导致的误触发。
  • 实际上市面上几乎所有比较器内部都包含迟滞比较器。
    ​​- 典型应用场景​​：
  • 信号整形（如将正弦波转为方波）；
  • 噪声环境下的阈值检测（如温度控制、过压保护）；
  • 振荡器电路（如方波、三角波发生器）

输入输出特性

输入输出波形

比较的延迟和滤波作用

方波生成器

电路分析①

• 假设比较器输出$+U_{sat}$，电容电压初值为0V;
• 那么比较器输出的$+U_{sat}$、负反馈电阻$R_1$、电容$C$构成一阶RC电路。
• 
• 三要素法
  • $u_C(0^{+})=u_C(0^{-})=0$
  • $u_C(+\mathrm{\infty })=+U_{sat}$
  • $\tau =R_{1}C$
• 解
  • $u_C(t)=u_C(+\mathrm{\infty })+(u_C(0^{+})-u_C(+\mathrm{\infty }))e^{\frac{-t}{\tau }}$
  • $=U_{sat}+(0-U_{sat})e^{\frac{-t}{\tau }}$
  • $=U_{sat}-U_{sat}{e}^{\frac{-t}{\tau }}$
  • $=U_{sat}(1-e^{\frac{-t}{\tau }})$
• 当电容电压上升到$\frac{1}{2}{U}_{sat}$时，比较器输出$-U_{sat}$

电路分析②

• 当电容电压上升到$\frac{1}{2}{U}_{sat}$时，比较器输出$-U_{sat}$
• 那么比较器输出的$-U_{sat}$、负反馈电阻$R_1$、电容$C$构成一阶RC电路。
• 电容电压初值为$\frac{1}{2}{U}_{sat}$
• 
• 三要素法
  • $u_C(0^{+})=u_C(0^{-})=\frac{1}{2}{U}_{sat}$
  • $u_C(+\mathrm{\infty })=-U_{sat}$
  • $\tau =R_{1}C$
• 解
  • $u_C(t)=u_C(+\mathrm{\infty })+(u_C(0^{+})-u_C(+\mathrm{\infty }))e^{\frac{-t}{\tau }}$
  • $=-U_{sat}+(\frac{1}{2}{U}_{sat}+U_{sat})e^{\frac{-t}{\tau }}$

电路分析③

• 同理，当电容电压下降到$-\frac{1}{2}{U}_{sat}$时，比较器输出$+U_{sat}$
• 电容电压初值为$+\frac{1}{2}{U}_{sat}$
• 三要素法
  • $u_C(0^{+})=u_C(0^{-})=-\frac{1}{2}{U}_{sat}$
  • $u_C(+\mathrm{\infty })=+U_{sat}$
  • $\tau =R_{1}C$
• 解
  • $u_C(t)=u_C(+\mathrm{\infty })+(u_C(0^{+})-u_C(+\mathrm{\infty }))e^{\frac{-t}{\tau }}$
  • $=U_{sat}+(-\frac{1}{2}{U}_{sat}-U_{sat})e^{\frac{-t}{\tau }}$

输入输出波形

方波的周期

• 根据分析可知 当$t=\frac{1}{2}T$ 时，
• $u_C(t)=U_{sat}+(-\frac{1}{2}{U}_{sat}-U_{sat})e^{\frac{-t}{\tau }}=\frac{1}{2}{U}_{sat}$

$$\begin{array}{rl}{U}_{sat}+(-\frac{1}{2}{U}_{sat}-U_{sat})e^{\frac{-\frac{1}{2}T}{\tau }}& =\frac{1}{2}{U}_{sat}\\ U_{sat}+(-\frac{1}{2}{U}_{sat}-U_{sat})e^{-\frac{1}{2R_{1}C}T}& =\frac{1}{2}{U}_{sat}\\ (-\frac{1}{2}{U}_{sat}-U_{sat})e^{-\frac{1}{2R_{1}C}T}& =\frac{1}{2}{U}_{sat}-U_{sat}\\ e^{-\frac{1}{2R_{1}C}T}& =\frac{\frac{1}{2}{U}_{sat}-U_{sat}}{-\frac{1}{2}{U}_{sat}-U_{sat}}=\frac{-\frac{1}{2}{U}_{sat}}{-\frac{3}{2}{U}_{sat}}=\frac{1}{3}\\ ln(\frac{1}{3})& =-\frac{1}{2R_{1}C}T\\ -ln3& =-\frac{1}{2R_{1}C}T\\ ln3& =\frac{1}{2R_{1}C}T\\ T& =2R_{1}C\ln 3\end{array}$$

其中：

• $\ln 3\approx 1.0986$，因此 $T\approx 2.197R_{1}C$。

能量处理

全桥整流

• 作用，交流变直流。
• 缺点，输出电压脉动大

平滑电容

• 作用，平滑电压
  

BUCK斩波降压器

• 错误的降压方式
  • 电阻分压方式降压，电阻消耗功率，效率低。
  • 脉宽调制降压，平均值的意义上说确实实现了降压，但电压脉动大。
  • 
• 正确的方式：
  • 利用电感电流不能突变的特性降压。
  • 
• 电路分析
  • 视角从负载电压切换到电感电流，他们之间只相差一个系数R,本质是一样的。
  • 分别分析场效应管导通和截止的两个电路。
  • 效应管导通，二极管截止可以忽略，电路看成一阶RL电路。
  • 效应管截止，二极管导通可以续流，电路看成一阶RL电路。
  • 
  • 根据$t=t_{ON}$时$i=I_2$以及$t=t_{ON}+t_{off}$时$i=I_1$,联立两个表达式，可以求解出$I_1$和$I_2$，从而求解出整个电路的稳态解。
• 思考
  • 根据第一个表达式，降压电路的最大电流却决于负载电阻而不是电感大小
  • 根据第二个表达式，在当场效应管关闭的周期中，电感越大则电流维持的时间越长，负载的电压纹波就越小。
• 工程师视角
  • 假设电感L足够的大，那么当电路进入稳态以后，电感中的电流i将变化非常小（类比于法拉电容充电和放电时电压上升和下降都很慢）可以看成常数，负载上获得的电压变化也很小可以看成常数。
  • 根据能量守恒，电路进入稳态后，$T_{on}$周期电感吸收的功率必然等于$T_{off}$周期电感发出的功率。
  • 从而得到输入输出和占空比的关系：$U_{out}=U_s\frac{t_{on}}{T}$
  •