RLC二阶电路的直觉解法

丁毅桂2025/8/7大约 2 分钟

并联RLC二阶电路

RLC并联电路的直觉解法

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直接列写关于 $i_{R}$ 的微分方程将会非常复杂，所以这里先求出 $i_{L}$ 。

第一步：求零状态响应

独立源不作用、储能元件有初值

画出零状态电路

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由于该电路是并联RLC二阶电路，所以根据之前并联RLC二阶电路的知识可以直接写出关于 $u_{C}$ 微分方程：

\frac{d^{2} u_{C}}{d^{2} t} + \frac{1}{R C} \frac{d u_{C}}{d t} + \frac{1}{L C} u_{C} = 0

和特征方程:

\begin{aligned} λ^{2} + \frac{1}{R C} λ - \frac{1}{L C} & = 0 \\ λ^{2} + \frac{1}{50 \times 100 μ} λ + \frac{1}{0.5 \times 100 μ} & = 0 \\ λ^{2} + 200 λ + 20000 & = 0 \end{aligned}

解法1：

\begin{aligned} λ^{2} + 200 λ + 20000 & = 0 \\ λ^{2} + \frac{1}{50 \times 100 μ} λ + \frac{1}{0.5 \times 100 μ} & = 0 \\ λ^{2} + 200 λ + 20000 & = 0 \\ λ^{2} + 2 * λ * 100 + 100^{2} + 10000 & = 0 \\ (λ + 100)^{2} + 100^{2} & = 0 \\ (λ + 100)^{2} - (- 100^{2}) & = 0 \\ (λ + 100)^{2} - ((- 1) * 100^{2}) & = 0 \\ (λ + 100)^{2} - (i^{2} * 100^{2}) & = 0 \\ (λ + 100)^{2} - (100 i)^{2} & = 0 \\ (λ + 100 + 100 i) (λ + 100 - 100 i) & = 0 \\ λ_{1}, λ_{2} & = - 100 \pm 100 i \end{aligned}

解法2：

\begin{aligned} λ^{2} + 200 λ + 20000 = 0 \\ α & = \frac{b}{2} = 100 \\ ω^{2} & = c = 20000 \\ Δ & = 4 (α^{2} - ω^{2}) = 4 (100^{2} - 20000) = - 10000 < 0 \\ λ_{1}, λ_{2} & = - α \pm i \sqrt{(ω^{2} - α^{2})} \\ = - 100 \pm i \sqrt{- 10000} \\ = - 100 \pm 100 i \end{aligned}

有两共轭复根，说明电路工作在欠阻尼状态。

于是得到微分方程的通解形式为：

u_{C} = A e^{- 100 t} \sin (100 t + θ)

二阶电路的支路量形式相同，所以可得：

i_{R} = C e^{- 100 t} \sin (100 t + θ)

第二步：求零输入响应

独立源作用、储能元件无初值

画出稳态等效电路

欠阻尼，稳态，电感最终等效为短路，电容等效成开路。

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i_{R} (+ \infty) = \frac{50 v}{50 Ω} = 1

画出 $0^{+}$ 时刻等效电路

换路，电感电流不能突变，有初值电感等效为电流源，电容电压不能突变，零值电容等效为短路。

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\begin{aligned} i_{L} (0^{+}) & = i_{L} (0^{-}) = 2 A \\ u_{C} (0^{+}) & = u_{C} (0^{-}) = 0 V \\ i_{R} (0^{+}) & = \frac{50 V}{50 Ω} = 1 A \\ i_{C} (0^{+}) & = i_{R} (0^{+}) - i_{L} (0^{+}) = 1 - 2 = - 1 A \end{aligned}

第三步：求全响应